|z-z'|=1

Soient A1, A2 et A3 des parties du plan complexe C telles que A1 U A2 U A3 = C.
Montrer qu'il existe z et z' dans la même partie tels que |z-z'|=1

abdelbaki.attioui a écrit:

Soient A1, A2 et A3 des parties du plan complexe C telles que A1 U A2 U A3 = C.
Montrer qu'il existe z et z' dans la même partie tels que |z-z'|=1

On procède par absurde, et je confond C et R²:
Ca revient à dire qu'on peut colorier le plan avec 3 couleurs { A1 , A2, A3} de telle façon que deux points distants de l'unité ont deux couleurs différentes, c-à-d le nombre chromatique du plan est égal à 3, malheureusement c'est FAUX, le théorème de 4 couleurs confirme que X(plan)>=4, démontrable en regardant le graphe de Moser...on peut remplacer 1 par n'importe quelle autre valeur, le résultat reste valide!

Et rebienvenu Chakib sur le forum, ça fait une belle lurette que t'as pas donné signe

radouane_BNE a écrit:

Et rebienvenu Chakib sur le forum, ça fait une belle lurette que t'as pas donné signe

L' Appel des Sirènes ou le Retour aux Sources ... L' Alma Mater ...

Amicalement . LHASSANE

radouane_BNE a écrit:

Et rebienvenu Chakib sur le forum, ça fait une belle lurette que t'as pas donné signe

Tu sais, ils sont rares les moments où les trous noirs laissent échapper la lumière

Oeil_de_Lynx a écrit:

radouane_BNE a écrit:

Et rebienvenu Chakib sur le forum, ça fait une belle lurette que t'as pas donné signe

L' Appel des Sirènes ou le Retour aux Sources ... L' Alma Mater ...

Amicalement . LHASSANE

Ni l'une ni l'autre, c'est juste que j'ai faim , j dec', Merci , vous vous souvenez toujours de 'selfrespect' , ouf ça m'évite de me représenter again

Bien sûr Selfrespect que Je me souviens de Toi !!!
Le Clan et Radouane avec Vous ...
Nostalgie ... Cinq ans déjà ... Pfffffffffff sa va vite !!!! LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

Bien sûr Selfrespect que Je me souviens de Toi !!!
Le Clan et Radouane avec Vous ...
Nostalgie ... Cinq ans déjà ... Pfffffffffff sa va vite !!!! LHASSANE

J'ai les larmes aux yeux

salam les matheux,belle surprise de vous voir ensemble a nouveau!!

Voici une autre solution topologique,qui utilise un jolie theoreme,dont la preuve utilise le groupe fondamental,ou les groupes d'homologie de la sphere:

On considère C comme R²,il est recouvert par trois parties (trois couleurs),qu'on peut supposer des fermés,alors on ajoutant un point a l'infini a R²,on aura le compactifié d'alexondrove,qui est homéomorphe par la projection stéréographique a la sphère S² de rayon r,donc S² est recouverte par trois fermés B_1,B_2 et B_3 qui sont les images réciproques par la projection des A_i,donc résoudre le problème initial pour n'importe quelle distance, consiste a trouver 2 points de d'un même B_i distant de d dans la sphère,avec d donnée,car après on peut projeter sur R²,et pour avoir la distance cherchée,il suffit de changer le rayon r de la sphere,en la gonflant ou le contraire,on considère alors la fonction f de S² dans R² qui a x associe (min_{y£B_1}llg(x)-yll;min_{y£B_2}llg(x)-yll),avec g une application continue de S² dans S²,f est une application continue,alors d'après le théorème de Borsuk-Ulam,il existe deux point antipodaux x et -x de la sphère S² tels que f(x)=f(-x),si min_{y£B_1}llg(x)-yll=min_{y£B_1}llg(-x)-yll=0,alors g(x) et g(-x) sont dans B_1 par fermeture des B_i,si min_{y£B_2}llg(x)-yll=min_{y£B_2}llg(-x)-yll=0,alors g(x) et g(-x) sont dans B_2,si non g(x) et g(-x) ne sont par dans B_1UB_2,donc dans B_3.
D'ou pour toute fonction g,on a g(x) et g(-x) dans un meme B_i,maintenant pour finir il suffit de choisir g telle que llg(x)-g(-x)ll=d ,mais j'arrive pas a le faire,je suis a moitié endormi !!mais le plus difficile est fait.

kalm a écrit:

salam les matheux,belle surprise de vous voir ensemble a nouveau!!

Voici une autre solution topologique,qui utilise un jolie theoreme,dont la preuve utilise le groupe fondamental,ou les groupes d'homologie de la sphere:

On considère C comme R²,il est recouvert par trois parties (trois couleurs),qu'on peut supposer des fermés,alors on ajoutant un point a l'infini a R²,on aura le compactifié d'alexondrove,qui est homéomorphe par la projection stéréographique a la sphère S² de rayon r,donc S² est recouverte par trois fermés B_1,B_2 et B_3 qui sont les images réciproques par la projection des A_i,donc résoudre le problème initial pour n'importe quelle distance, consiste a trouver 2 points de d'un même B_i distant de d dans la sphère // ],avec d donnée,car après on peut projeter sur R²,et pour avoir la distance cherchée,il suffit de changer le rayon r de la sphere,en la gonflant ou le contraire,on considère alors la fonction f de S² dans R² qui a x associe (min_{y£B_1}llg(x)-yll;min_{y£B_2}llg(x)-yll),avec g une application continue de S² dans S²,f est une application continue,alors d'après le théorème de Borsuk-Ulam,il existe deux point antipodaux x et -x de la sphère S² tels que f(x)=f(-x),si min_{y£B_1}llg(x)-yll=min_{y£B_1}llg(-x)-yll=0,alors g(x) et g(-x) sont dans B_1 par fermeture des B_i,si min_{y£B_2}llg(x)-yll=min_{y£B_2}llg(-x)-yll=0,alors g(x) et g(-x) sont dans B_2,si non g(x) et g(-x) ne sont par dans B_1UB_2,donc dans B_3.
D'ou pour toute fonction g,on a g(x) et g(-x) dans un meme B_i,maintenant pour finir il suffit de choisir g telle que llg(x)-g(-x)ll=d ,mais j'arrive pas a le faire,je suis a moitié endormi !!mais le plus difficile est fait.

Hello Kalm, ça fait plaisir de te re-croiser sur le forum;
(je trouve l'idée d'introduire la sphère de Riemann dans le jeu plutôt originale, ça à réduit énormément la complexité du problème,bravo, au départ j'ai essayé de trouver une solution purement topologique, mais j'ai pas pu en tirer grande chose ( à peine on peut dire que l'une des trois partitions contient une infinité de point d'accumulation... mais c'est inutile quand il s'agit d'une distance fixé telle l'unité ou d...)) Je pense en arrivant à // le problème pourrait être résolu à l'aide des arme moins 'lourdes' en cherchant une pyramide régulière de coté d inscrite dans une telle sphère , bien-sur cela revient à choisir un r convenable...

Bonne continuation
Salut

Salut chakib,ca me fais plaisir aussi de te croiser,d'ailleurs j'ai intervenu juste parce que comme par hasard j'ai jeté un coup d'oeil sur le forum que j'aime,mais j'ai trouvé dedans ceux qui me l'ont fait aimer,belle coïncidence !!

Par rapport a la remarque de la pyramide,je ne vois pas comment cela peut etre réalisé,construire une pyramide dans la sphere, nécessite une connaissance des diamètres des B_i ,le fait d'utiliser ces armes avais pour but d'avoir cette information de distances entre points.

(édité)

Cordialement.

kalm a écrit:

Salut chakib,ca me fais plaisir aussi de te croiser,d'ailleurs j'ai intervenu juste parce que comme par hasard j'ai jeté un coup d'oeil sur le forum que j'aime,mais j'ai trouvé dedans ceux qui me l'ont fait aimer,belle coïncidence !!

Par rapport a la remarque de la pyramide,je ne vois pas comment cela peut résoudre le problème,peux tu m’éclaircir ton idée davantage .


Cordialement.

Pour un d donné, on prend r=d/racine_carrée(3) ,
La sphère de rayon r contient ainsi une pyramide dont la longueur de chaque côte = d ( il y a une infinité .. )
On regarde les sommet du pyramide, forcément y'en a deux qui ont la même couleurs (ie appartiennent à la même partition Ai, )
A+

Pour l'utilité de la pyramide j'ai compris pour quoi tu l'avais évoqué,mais la construction qui me semble difficile pour UNE SPHERE DONNEE.
Par exemple la tu as pris les choses de manière inverse,tu as fixé le rayon,apres tu as déformé la sphère,donc tu as déformé les taches B_i,et du coup on perds le sens de la démo quoi,non?

crlmnt.

kalm a écrit:

salam les matheux,belle surprise de vous voir ensemble a nouveau!!

Voici une autre solution topologique,qui utilise un jolie theoreme,dont la preuve utilise le groupe fondamental,ou les groupes d'homologie de la sphere:

On considère C comme R²,il est recouvert par trois parties (trois couleurs),qu'on peut supposer des fermés,alors on ajoutant un point a l'infini a R²,on aura le compactifié d'alexondrove,qui est homéomorphe par la projection stéréographique a la sphère S² de rayon r,donc S² est recouverte par trois fermés B_1,B_2 et B_3 qui sont les images réciproques par la projection des A_i,donc résoudre le problème initial pour n'importe quelle distance, consiste a trouver 2 points de d'un même B_i distant de d dans la sphère,avec d donnée,car après on peut projeter sur R²,et pour avoir la distance cherchée,il suffit de changer le rayon r de la sphere,en la gonflant ou le contraire,on considère alors la fonction f de S² dans R² qui a x associe (min_{y£B_1}llg(x)-yll;min_{y£B_2}llg(x)-yll),avec g une application continue de S² dans S²,f est une application continue,alors d'après le théorème de Borsuk-Ulam,il existe deux point antipodaux x et -x de la sphère S² tels que f(x)=f(-x),si min_{y£B_1}llg(x)-yll=min_{y£B_1}llg(-x)-yll=0,alors g(x) et g(-x) sont dans B_1 par fermeture des B_i,si min_{y£B_2}llg(x)-yll=min_{y£B_2}llg(-x)-yll=0,alors g(x) et g(-x) sont dans B_2,si non g(x) et g(-x) ne sont par dans B_1UB_2,donc dans B_3.
D'ou pour toute fonction g,on a g(x) et g(-x) dans un meme B_i,maintenant pour finir il suffit de choisir g telle que llg(x)-g(-x)ll=d (*) ,mais j'arrive pas a le faire,je suis a moitié endormi !!mais le plus difficile est fait.

Je pense que le fait de fixer la valeur de r ne posera pas de problème dans la suite de la démo, c'est bien ce que tu disais au niveau du bleu?
en plus pour un d donné, tu es obligé de prendre r suffisamment grand, pour que ta fonction g trouve les satisfasse l'égalité (*), autant de fixer sa valeur.
A+

Je change r après avoir trouver d(r),c'est ce que j'ai écris ,c'est a dire la projection stéréo va juste changer le d en une distance entre les z et z' a notre guise,finalement ca reste contraignante comme approche meme s'elle est plus bonne et directe,ca reste a vérifier , pour (*) ce n'est pas nécessaire ,car cela ne dépend que de g .

cdm.

Voici la construction de g :soit x de S²,on considère son cercle équateur qui passe également par -x,on considère le cercle de diamètre d sur la calotte de la sphère parallèle au premier cercle,si on note g(x) le point d'intersection de du cercle de la calotte avec la demi-droite de départ de x et qui fait un angle pi-arccos(sdrt(1-(d/2r)²)) avec le plan du cercle équateur de x,et un angle A quelconque avec le plan normal a ce dernier dans le sens trigo,il facile de voir que g est meme un homéomorphisme,car elle est bijective,et ouverte,et de plus llg(x)-g(-x)ll=d,et voila une infinité de g .

Ce qui achève la demo


Cordialement.

Merci Kalm de m'avoir inviter ! Chokran Jaziran

Je suis heureux de vous revoir, Kalm, Selfrespect, Radouane, Oeil de Lynx et l'admin bien sur sur ce post . comment vous allez déjà ? J'espère que vous allez bien tous

si le résultat est démontré pour la distance 1 alors il est pour n'importe quelle distance il suffit de changer l'unité de mesure dans le plan