aide

démontrer que ((k+1)/3)^k<K!

k appartient à N

Récurrence

Oui Humber je sais c avec récurrence mais jai bloqué ... !!

Essaye d'utiliser le binôme de Newton

est ce que l'inégalité est celle ci ?

?

Oui !

Bon alors la récurrence marche sans probleme :
pour k=0 on a 1=< 1 , supposant l'inégalité vrai pour k .
on a :

ainsi il suffit de prouver que :

ce qui est vrai , QED .

Oty a écrit:

Bon alors la récurrence marche sans probleme :
pour k=0 on a 1=< 1 , supposant l'inégalité vrai pour k .
on a :

ainsi il suffit de prouver que :

ce qui est vrai , QED .

Alalalala !

Tombé dans le piège. Quand tu supposes que . Pour la récurrence ça devient

ah oui oui tu as raison merci , sa m'apprendra a utilisé un papier et un stylos avant d'ecrire , Merci beaucoup

Voici ma solution : bon alors si c'est comme ca on transforme d'abord l'inégalité .
Maintenant par hyposthese de recurrence il nous faut prouver comme mon ami humber l'a signaler (k+2\3)^k+1 =< (k+1)! ou encore :

notons qu'on peut transforme l'hypothese de récurrence dans la forme suivante :

d'apres celle ci il suffit de prouver que :

ou encore :

l'etude de cette fonction montres qu'elle est bien positive pour tout k >= 0 , ce qui permet de conclure .
(g'(k) < 0 pour tout k > 0 et g(0)>0 et limite k tend vers +infni =0 )

je pense que Oty a mal copié la donnée on a k*ln(k+1/3) et non pas (k+1)*ln

Salut, je propose de demontrer que la suite U_k = (3^k.k!)/(k+1)^ k est croissante et donc minoree par U_1.
On a (U_(k+1)/U_k) = 3.((k+1)/(k+2))^(k+1)
Puis considerer la fonction xln(x+1)-xln(x+2)+ln(3), (qui est surement croissante :p). Deduire que cette derniere est positive. ...
(Des que je serais sur mon pc je detaillerai plus.)

IMANE1 a écrit:

je pense que Oty a mal copié la donnée on a k*ln(k+1/3) et non pas (k+1)*ln

oui tu as raison désolé , mais la preuve reste valable apres modification c'est Editté , Merci .