intégrale thèorème de cauchy

Salam mes frères ,

j'arrive pas à démontrer l'égalité suivante avec (nu) fixé dans R :


besoin d'aide merci .

le deuxième intégral n'est autre que celui de Gauss et égal à 1.

Remarquons que exp(-pi(x+iv)^2)=exp(-pi(x^2-v^2))*(cos(2*pi*x*v)+i*sin(2*pi*x*v)), on prend que la partie réelle de cet intégrale, ce qui nous conduit à montrer que

Int_{-\infty}^{+\infty} exp(-pi(x^2-v^2))*cos(2*pi*x*v) dx....là tout est réel, donc il te faut juste monter que cet intégral est égal à 1. (d'ailleurs l'intégral de la partie imaginaire est effectivement nul).

Bonsoir au Forum .

Je serais tenté pour ma part d'utiliser les Intégrales de Fonctions Holomorphes ....
La fonction holomorphe , c'est f ( holomorphe sur C tout entier )
z --------------> f(z)=exp(-PI.z^2)

à intégrer sur le circuit C(R) fermé , composé des QUATRE segments :
C1={ z dans C ; z=x avec -R<=x<=R}
C2={ z=R+i.t ; 0<=t<= nu }
C3={ z dans C ; z=t+i.nu , -R<=t<=R }
C4={ z=-R+i.t ; 0<=t<= nu }
le circuit étant parcouru dans le sens direct et R réel , R>0 .
L'intégrale de f sur C(R) vaut ZERO .


puis faire tendre R vers +oo
et voir ce que l'on obtient .... A Vous de Jouer ....

Amicalement . LHASSANE