- alicia alicia a écrit:
- bonjour tout le monde
j espère bien que quelqu’un parmi vous puisse m aider pour résoudre cet exercise
soit a un réel strictement positif et f une fonction définie sur l intervalle [-a,a] et deux fois dérivable sur ]-a,a[. on suppose que f(0)=0 et que la fonction |f''| est bornee sur ]-a,a[
on definie la suite
Un =f(1/n²)+f(2/n²)+..........f(n/n²) tq n>1/a
montrer que Un est convergente et calculer sa limite
et merci davance
Bonjour ...
Tu as de la Chance ... J'ai du feeling par rapport à cet Exercice !!!
Soit donc n entier naturel tel que n>(1/a)
Pour k entier naturel avec 1<= k <=n
La Formule de Taylor à l'ordre 2 appliquée à f sur [0;k/n^2] permet d'écrire :
f(k/n^2)=(k/n^2).f'(0)+(1/2).(k/n^2)^2.f"(ck) ( *)
avec ck réel compris entre 0 et k/n^2
On rappelle que :
1+2+3+ .... +n=n.(n+1)/2 et
1^2 + 2^2 + 3^2 + ..... +n^2 = n(n+1)(2n+1)/6.
Maintenant , faisons la Somme Membres de Egalités (*) lorsque 1<= k <=n
On obtiendra alors :
Sn=(1/2).(n+1)/n .f'(0) + (1/2).(1/n^4).SIGMA{ k=1 à n ; k^2 . f"(ck) }
Si on désigne par M une borne de |f"| sur ]-a;a[ , alors
|SIGMA{ k=1 à n ; k^2 . f"(ck) }| <= ( M/6).n(n+1)(2n+1)
D'ou : | Sn - (1/2).f'(0)| <= (1/2n).|f'(0)| + (M/12).(n+1)(2n+1)/n^3
La Majorante ( dans cette inégalité ) tend vers ZERO quand n ----> +oo
Donc ta suite (Sn)n converge vers (1/2).f'(0)
Amicalement . Lhassane
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