Jolie 2013

soit f une fonction définie sur R , 0<a =<1 et 0<|b|<1 tel que :

1)
2)

Prouver que :

soit eps>0
il existe µ>0 : |x|<µ ===> |f(x)-af(bx)|< eps. |x|
soit x: |x|<µ ,
soit n dans N,
==> |b^nx|=<|x|<µ
==> |f(b^n x)-af(b^(n+1) x)|< eps. |b^n x|
==> |a^n.f(b^n x)-a^(n+1).f(b^(n+1) x)|< eps. |ab|^n |x| en multipliant par a^n>0
==> par télescopage, |f(x)-a^(n+1).f(b^(n+1) x)|< eps. (1-|ab|^(n+1))/(1-|ab|). |x|
==> qd n-->+oo, a^(n+1).f(b^(n+1) x) ---> 0
==>|f(x)|< eps. |x| /(1-|ab|)

donc f(x)/x ---> 0 qd x ---> 0

Brave Mr Attioui