exercice de nombres complexes (équations)

1-résoudre cette équation dans l'ensemble C : z²-2icos(a)z-1=0
tel que : 0<a<3.14/2(pi/2)
2-écrire les deux solutions z1 et z2 à la forme triangulaire en terme de a
3-détérminer les valeurs (n appartient l'ensemble N) tel que ; (z1+z2)^n appartient l'ensemble iR

aide moi s'il vous plait

aide moi s'il vous plait

j'ai besoin de la solution s'il vous plait , car cette exercice est un examin à la maison ;
et merci

Bonjour

1) On a : Delta = 4 - 4(cos(a))^2 =4(1-(cos(a))^2) = 4(sin(a))^2 = (2.sin(a))^2
Donc z1=(2i.cos(a) +2sin(a))/2 =sin(a) + i.cos(a) et z2=(2i.cos(a) - 2sin(a))/2 =-sin(a) +i.cos(a)

2) On a:z1=sin(a)+i.cos(a)=cos(pi/2 - a) + i.sin(pi/2 - a) et z2=-sin(a)+i.cos(a)=cos(pi/2 + a) + i.sin(pi/2 + a)

3) On a :z1 + z2 =2i.cos(a) , donc( z1+z2 )^n =(2cos(a))^n.(i)^n
Donc: Si n est pair alors (z1+z2)^n=(2cos(a))^n.((i)^2)^(n/2)=(2cos(a))^n.(-1)^(n/2) qui est un nombre réel non nul
Et si n est impair alors z1+z2=(2cos(a))^n.(i)^(n-1).i=(2cos(a))^n.(i^2)^((n-1)/2).i=(2cos(a))^n.(-1)^((n-1)/2).i qui est un élément de iR .
Par suite : (z1+z2)^n appartient à iR est équivalent à n est impair .

merci beaucoup

Pas de quoi