ab=c²

on considere a=produit des pk^(i_k) et b=produit des pj^(i_j)
a et b premier entre eux donc pk premier avec pj pour tout k j si il existe i_k ou i_j qui soit impair on a donc c=P*racine(pk) la racine d'un nombre premier est irractionnel ce qui est impossible donc i_k sont paire et i_j sont paire d'ou le resultat

Avec un quantificateur existentiel il suffit de donner alpha=4 , Beta =5
Par suite a=16 et b=25 , PGCD(16,25)=1 et 16*25 = 20²

On va par récurrence sur c.
Pour c = 1, on a c² = 1 = ab, ce qui implique a = b = 1, et donc a et b sont carrés.
Pour c>1, supposons qu’on a c² = ab avec pgcd(a; b) = 1. Supposons aussi l’hypothèse de
récurrence forte que pour tout c' avec 1=< c' < c, si on a c'²=a'b' avec pgcd(a';b') = 1,
alors a' et b' sont carrés.
Alors comme on a c>1, c est divisible par un premier p. Ce p divise c²= ab, donc il divise
a ou b. Comme a et b sont premiers entre eux, p ne divise pas les deux. Donc p divise un parmi
a et b, et est premier avec l’autre.
Supposons que p divise a et est premier avec b. Comme p divise c, p² divise c² = ab.
Comme p² est premier avec b, il doit diviser a. On a donc (c/p)²= (a/p²)b avec pgcd( a/p²; b) = 1.
Par l’hypothèse de récurrence forte, il existe m et n avec a/p²=m² et b = n². Donc a= (pm)²
et b = n² sont carrés.

galillee56 a écrit:

on considere a=produit des pk^(i_k) et b=produit des pj^(i_j)
a et b premier entre eux donc pk premier avec pj pour tout k j si il existe i_k ou i_j qui soit impair on a donc c=P*racine(pk) la racine d'un nombre premier est irractionnel ce qui est impossible donc i_k sont paire et i_j sont paire d'ou le resultat

Comment ça ?

non c'est 2 phrase differente ^^ pk^pj=1. Et si on a i_j ou i_k qui soit impaire alors on a..

Humber a écrit:

Avec un quantificateur existentiel il suffit de donner alpha=4 , Beta =5
Par suite a=16 et b=25 , PGCD(16,25)=1 et 16*25 = 20²

Faux, pour tout c entier naturel

Geo a écrit:

Humber a écrit:

Avec un quantificateur existentiel il suffit de donner alpha=4 , Beta =5
Par suite a=16 et b=25 , PGCD(16,25)=1 et 16*25 = 20²

Faux, pour tout c entier naturel

Je me fis à la question mon ami

Sinon, il est vrai que c'est assez facile pour que ça soit une réponse et c'est pour cela qu'il faut ajouter un quantificateur universel au début,

i.e : Pour l'exo de notre ami Oty :


P.S :

Geo a écrit:

pour tout c entier naturel

c est déterminée par a et b et pas le contraire à cause de la condition sur leur PGCD


Amicalement

on peut montrer que soit a ou b sont la puissance du pgcd(a,c) ou pgcd(b,c) .
ma preuve du lemme pour n .
supposant : ab=c^n avec a^b=1 , soit d=pgcd(b,c) on pose b=dx et c=dy avec pgcd(x,y)=1 donc en remplacent dans l'egalité on obtient
ax=d^{n-1}y^{n} , donc y^{n}|ax comme x et premier avec y alors il es premier avec y^{n} il s'ensuit d'apres Gauss y^{n}|a (1) .
en second lieu on a aussi
a|d^{n-1}y^{n} , on note s=pgcd(d,a)
donc s|d et s|a donc s|dx=b et s|a donc s|pgcd(a,b)=1 donc s=1
ainsi pgcd(d,a)=1 et donc pgdc(d^{n-1},a)=1 et par conséquent d'apres gauss une nouvelle fois a|d^{n-1}y^{n} => a|y^{n} (2) de (1) et (2) il vient que :
a=y^{n} on remplace dans l'egalité on trouve b=d^{n} ce qui permet de conclure .