series numeriques

svp aidez moi dans cet exercice
voila la question
a) Etudier

∑un où un =∫1/1+x+x²+......xn dx ( integrale entre 0 ET 1)


VOILA LA CORRECTION

un =∫1/1+x+x²+......xn dx =∫1-x/1-x^(n+1) dx ;1-x/1-x^(n+1) tend vers 1-x lorsque n tend vers +00 ET |1-x/1-x^(n+1) |<1 DONC un TEND VERS ∫1-xdx = 1\2 ( integrale entre 0 ET 1) DONC LA SERIE diverge


mais ce que jai pas compris cest ce passage la
DONC un TEND VERS ∫1-xdx = 1\2 ( integrale entre 0 ET 1)

alicia alicia a écrit:

svp aidez moi dans cet exercice
voila la question
a) Etudier

∑un où un =∫1/1+x+x²+......x^n dx ( integrale entre 0 ET 1)


VOILA LA CORRECTION

un =∫1/1+x+x²+......xn dx =∫1-x/1-x^(n+1) dx ;1-x/1-x^(n+1) tend vers 1-x lorsque n tend vers +00 ET |1-x/1-x^(n+1) |<1 DONC un TEND VERS ∫1-xdx = 1\2 ( integrale entre 0 ET 1) DONC LA SERIE diverge


mais ce que jai pas compris cest ce passage la
DONC un TEND VERS ∫1-xdx = 1\2 ( integrale entre 0 ET 1)

Mon Bonsoir Alicia !!
Je Trouve la Correction un peu "Olé Olé"
On est d' accord que Ta Série est à termes positifs DONC on utilise la Condition Suffisante
de Divergence qui est :
montrer que le terme général (un)n de cette Série ne tend pas vers ZERO .
Il me semble dès lors que cela n'a pas été très bien fait dans le CORRIGE .
Il y a un petit problème de convergence d'intégrale au point 1 par la gauche dans l' expression de un
Je m'en vais examiner cela de manière Relax et tu auras sitôt une réponse .....

Amicalement . LHASSANE

Mon Bonjour !!

De retour ...

En fait , on considère la suite de fonctions (fn)n définie par :
Pour chaque entier naturel n >=1 ;
fn : x ---------> fn(x)=1/{1+x+x^2+.....+x^n}
définie sur [0;1] valeurs dans IR

On a bien sûr fn(x)=(1-x)/(1-x^(n+1)) tant que 0=<x<1 et fn(1)=1/(n+1)

1) On peut voir sans difficultés que la suite de fonctions (fn)n
CONVERGE SIMPLEMENT sur [0,1] vers la fonction g définie par
x -----> g(x)=1-x
C'est facile pour x dans [0,1[ , Lim fn(x)=1-x quand n ---> +oo car Lim x^(n+1) = 0

En outre fn(1)=1/(n+1) -----> 0 quand n ----> +oo

2) Essayons de voir si cette CONVERGENCE n'est pas UNIFORME ????
On a |fn(x) -g(x)|= x^(n+1)/{1+x+x^2+......+ x^n} tous calculs faits ...
Si x est dans [0,1] , on a 1>=x>=x^2>= .... >=x^n
Si bien que 1+x+x^2+ .... + x^n >=(n+1).x^n et donc
|fn(x) -g(x)| <=x/(n+1) <= 1/(n+1) et ceci indépendemment de x

C'est suffisant pour conclure que (fn)n CONVERGE UNIFORMEMENT vers g sur [0,1]

Maintenant , Tu as le choix ... Théorème du Cours ou bien le revoir ...

|un- INT{x=0 à 1;g(x).dx }|=|INT{x=0 à 1;{fn(x)-g(x)}.dx }| <= INT{x=0 à 1;|fn(x)-g(x)|.dx} <=1/(n+1)

Comme la majorante 1/(n+1) tend vers 0 quand n ---> +oo alors
la suite (un)n converge bien vers INT{x=0 à 1;g(x).dx } qui vaut (1/2) comme
Tu l'as annoncé dans le CORRIGE.

Amicalement. LHASSANE

en tout cas je vous remercie infiniment mais nous on na pas fait encore la partie concernant la convergence uniforme

merci encore monsieur LHASSANE

Bonjour Alicia !!

Tu peux ne pas en parler ....
Tu établis ceci :
<< On a |fn(x) -g(x)|= x^(n+1)/{1+x+x^2+......+ x^n} tous calculs faits ...
Si x est dans [0,1] , on a 1>=x>=x^2>= .... >=x^n
Si bien que 1+x+x^2+ .... + x^n >=(n+1).x^n et donc
|fn(x) -g(x)| <=x/(n+1) <= 1/(n+1) et ceci indépendemment de x


Puis , Tu utilises l' inégalité classique du Calcul Intégral
| INT { a à b ; f(x).dx }| <= Int{ a à b ; |f(x)|.dx }
pour écrire ceci :

|un- INT{x=0 à 1;g(x).dx }|=|INT{x=0 à 1;{fn(x)-g(x)}.dx }|
<= INT{x=0 à 1;|fn(x)-g(x)|.dx} <=1/(n+1)

et enfin Tu conclus que Lim un = 1/2 quand n ---> +oo donc ta Série DIVERGE !!

C'est Tout Simple !!

Amicalement . LHASSANE