(a+b+c)(ab+bc+ca)=9

Bonsoir Mr " Younessmath " j'espère que vous allez bien
avant de commencer je met une illustration a une des inégalités de Newton
l'inégalité a Prouver est :

D'après l'inégalité qu'on a montré au début il suffit de prouver que :

alidos a écrit:

Bonsoir Mr " Younessmath " j'espère que vous allez bien
avant de commencer je met une illustration a une des inégalités de Newton
l'inégalité a Prouver est :

D'après l'inégalité qu'on a montré au début il suffit de prouver que :

Il faut toujours finir sa démonstration, toujours. Tu vas te rendre compte pourquoi en essayant de le faire ici !

Spoiler:

Si tu as vu une faille Merci de l'indiquer Mr ''Humber'' quoique il n'y a aucune
enfin je crois !

Je ne peux l'indiquer parce qu’elle n'est pas écrite

Elle est incluse dans la conclusion. Essayez de terminer la démonstration est là je ferai une remarque complète. Car à ce que je vois vous n'en vous rendez pas compte

PS : une conclusion détaillée s'il te plaît.

En effet, le dernier étape est faux.

Je propose cette méthode trop calculatoire en attendant que quelqu'un propose une qui soit plus court et joli.

On pose p=a+b+c, q=ab+bc+ca et r=abc. On a alors pq=9.
L'inégalité se réécrit sous la forme :

r^2 (2q-p^2)-2rp+q^2 >=0

On étudie la fonction f(r)=r^2 (2q-p^2)-2rp+q^2
Sa dérivé est f'(r)=2r(2q-p^2)-2p= <===> r_0=p/(q^2-2q)

Puisque f(0) est positif, il suffit de montrer que f(r_0) est positif.

En calculant cette valeur, on aboutit à f(r_0)=4*q^4-3*p^4+54*p-324*q en utilisant la donne pq=9. Or puisque p^2 >=3q, en étudiant la derniere expression on trouve qu'elle est positive.

done.

Oui Oui exactement c'est une faute d'innatention l'inégalité va se renversé
Meme l'inégalité suivante est erronée :
Il suffit de Prendre :
Ainsi ma faute n'est pas rectifiable .
En faite je vais proposer une deuxième Tentative Plutard

radouane_BNE a écrit:

f(r_0)=4*q^4-3*p^4+54*p-324*q en utilisant la donne pq=9. Or puisque p^2 >=3q, en étudiant la derniere expression on trouve qu'elle est positive.

done.

Veuillez Montrer qu'elle est positive .Merci

On pose 3u=a+b+c,3v^2=ab+bc+ca et w^2=abc. Par contrainte imposé on tire uv^2=1.

L'inégalié est équivalent à :

(2v^2-3u^2)*w^6-2*u*w^3+3v^4 >=0,

en remplaçant v par u et en posant t=w^3 on aboutit à :

t^2 (2*u-3*u^4)-2*u^3*t+3>=0.

Soit f(t)=t^2 (2*u-3*u^4)-2*u^3*t+3

f' a une seule racine qui est t_0 = u^2/(2*u-3*u^3),

si t_0 est négatif, le minium de f(t) est a atteint en f(t=0)=3>0
si t_0 est positif, le minimum est en atteint en f(t_0=u^2/(2*u-3*u^3))=u^4*(2*u-3*u^4)-2*u^5*(2*a-3*u^3)+3*(2*u-3*u^3)^2=u^2 (12-36 u^2+2 u^3+23 u^4+3*u^6)>0.

Bon j'avoue que la méthode de résolution est tirée par les cheveux, mais pour certaines inégalités il n'y pas de solutions utilisant de simples méthodes, à moins que quelqu'un nous fournisse une courte solution

p=a+b+c , q=ab+bc+ac , r=abc

r²(1/a²+1/b²+1/c²)= a²b²+b²c²+a²c²=q²-2rp
a²+b²+c²=p²-2q

1/a²+1/b²+1/c² >= a²+b²+c²
si q²-2rp>=r²(p²-2q)
si p²q²-2rp^3>=r²(p^4-2p²q)
si 81-2rp^3>=r²(p^4-18p ) car pq=9
soit f(x)=x²(p^4-18p ) + 2xp^3 -81 pour x>=0
Par ailleurs, f s'annule en un point unique t>=r ==> f(r)=<0
En effet: f continue strictement croissante de [0,+00[ sur [-81,+00[ car p>=3 d'où l'existence et l'unicité de t par TVI

En fait le seul problème qui reste à vérifier est de démontrer que pour tel t ou f s'annule on a bien f(t) =<0...

radouane_BNE a écrit:

En fait le seul problème qui reste à vérifier est de démontrer que pour tel t ou f s'annule on a bien f(t) =<0...

Il reste à vérifier que t>=r

abdelbaki.attioui a écrit:

p=a+b+c , q=ab+bc+ac , r=abc

r²(1/a²+1/b²+1/c²)= a²b²+b²c²+a²c²=q²-2rp
a²+b²+c²=p²-2q

1/a²+1/b²+1/c² >= a²+b²+c²
si q²-2rp>=r²(p²-2q)
si p²q²-2rp^3>=r²(p^4-2p²q)
si 81-2rp^3>=r²(p^4-18p ) car pq=9
soit f(x)=x²(p^4-18p ) + 2xp^3 -81 pour x>=0
Par ailleurs, f s'annule en un point unique t>=r ==> f(r)=<0
En effet: f continue strictement croissante de [0,+00[ sur [-81,+00[ car p>=3 d'où l'existence et l'unicité de t par TVI

je continue sur la démo à partir d'ici , f(x)=x²(p^4-18p ) + 2xp^3 -81 pour x>=0
en effet puisque selon la condition : pq = 9 on trouve : 0 =< r=< 1 , p>= 3 et q=< 3 , on a , f est strictement monotone sur [0,+00[ , il suffit de montrer donc que : f(1) =< 0 , or pour r = 1 et pq = 9 , avec AM-GM on aura q = 3 donc p = 3 , donc f(1) = 0 , cqfd