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younesmath2012
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MessageSujet: /a/<1   /a/<1 EmptyDim 10 Fév 2013, 22:18

/a/<1 Gif.latex?a,b,c%20\in\mathbb{R}~tq~:\left\{\begin{matrix}%20a+b+c=1\\%20a^3+b^3+c^3=25\\%20\left%20|%20a%20\right%20|\leq%20\left%20|%20b%20\right%20|\leq%20\left%20|%20c%20\right%20|\\%20\end{matrix}\right

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younesmath2012
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MessageSujet: Re: /a/<1   /a/<1 EmptyMer 14 Juin 2023, 22:50

younesmath2012 a écrit:
/a/<1 Gif.latex?a,b,c%20\in\mathbb{R}~tq~:\left\{\begin{matrix}%20a+b+c=1\\%20a^3+b^3+c^3=25\\%20\left%20|%20a%20\right%20|\leq%20\left%20|%20b%20\right%20|\leq%20\left%20|%20c%20\right%20|\\%20\end{matrix}\right
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naïl
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MessageSujet: ébauche   /a/<1 EmptyJeu 22 Juin 2023, 17:30

Supposons que la somme des longueurs est égale à l'unité et que la somme des cubes est égale à 25u^3. Donc
https://i.servimg.com/u/f29/19/89/73/04/transf10.png
soit
https://i.servimg.com/u/f29/19/89/73/04/simpli10.png (*)
Or si a>u alors https://i.servimg.com/u/f29/19/89/73/04/encadr10.png donc c<0 et https://i.servimg.com/u/f29/19/89/73/04/encadr11.png, donc b>0 et (*) n'est pas cohérent de signe. Mais si a<-u alors https://i.servimg.com/u/f29/19/89/73/04/encadr12.png donc c>0 et https://i.servimg.com/u/f29/19/89/73/04/encadr13.png donc b<0
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naïl
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MessageSujet: Re: /a/<1   /a/<1 EmptyMer 12 Juil 2023, 12:58

Reprenons à (a-u)(b-u)(c-u)=8u³ donc deux parmi a, b et c sont inférieurs à u et le troisième lui est supérieur, puisque a, b et c ne sont pas tous supérieurs à u car a+b+c=u. Ensuite remontrons que a<u, puis que c>u et b<0. En effet, si a>u alors b<u et c<u et en plus c<=b<=-a<-u parce que |a|<=|b|<=|c|. Et si b>u alors a<u et c<u et même c<=-b (b<=|c|). Mais a+b+c=u donc a<u, b<u, c>u et b=u-c-a<-a<=|b|. b<0.
Enfin, étudions le polynôme de second degré f(x)=(u-b)(u-x)(-b-x) pour x variant entre b et l'inférieur de u et -b, si b<-u.
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: /a/<1   /a/<1 EmptyLun 17 Juil 2023, 00:50

Bonjour ,

pour bénéficier de la symétrie des rôles des trois réels a , b et c

je propose (et je résoud) l'énoncé équivalent suivant :

Soient a , b et c trois réels tels que : a + b + c = 1  et  a^3 + b^3 + c^3 = 25

prouver que l'un au moins de ces trois réels est de valeur absolue inférieure ou égale à 1.

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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: /a/<1   /a/<1 EmptyLun 17 Juil 2023, 01:09

on a  :  1 = ( a + b + c )^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 6abc + 3ab(a + b) + 3bc(b + c) + 3ac(a + c)

et donc ,  1 = 25 + 6abc + 3ab(1 - c) + 3bc(1 - a) + 3ac(1 - b) = 25 - 3abc + 3ab + 3 bc + 3ac

ce qui donne ,  abc - ab - bc - ac = 8  ce qui s'écrit aussi  ,  abc - ab - bc - ac + a + b + c - 1 = 8

c'est à dire ,   (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 8
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MessageSujet: Re: /a/<1   /a/<1 EmptyLun 17 Juil 2023, 01:22

les trois réels a - 1 , b - 1 et c - 1  ne peuvent pas être tous positifs (ou nuls) vu la contrainte a + b + c = 1

et ne peuvent pas aussi être tous négatifs (ou nuls) vu que leur produit est strictement positif

on conclut alors facilement que l'un (exactement) parmi eux est positif (ou nul) et les deux autres sont négatifs (ou nuls)

ce qui s'écrit en (exploitant la symétrie) :  a =< 1  ,  b =< 1  et  c >= 1
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MessageSujet: Re: /a/<1   /a/<1 EmptyLun 17 Juil 2023, 01:31

Raisonnons alors par l'absurde en supposant qu'aucun des réels a , b et c n'est de valeur absolue inférieure ou égale à 1

on aurait alors ,  a < -1  et  b < -1  et par suite  c = 1 - a - b > 3

et donc   1 - a > 2  ,  1 - b > 2  et   c - 1 > 2

et donc   (a - 1)(b - 1)(c - 1) > 8 d'où l'absurdité farao
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MessageSujet: b<-1   /a/<1 EmptyMer 19 Juil 2023, 05:56

naïl a écrit:
[...]
a<u, b<u, c>u et b=u-c-a<-a<=|b|. b<0.
Enfin, étudions le polynôme de second degré f(x)=(u-b)(u-x)(-b-x) pour x variant entre b et l'inférieur de u et -b [...]
Or f(a)=8u³, f(b)=-2b(u-b)², f(-u)=2u(u-b)²
Aussi f est-elle convexe (parabole dirigée vers le haut car u-b>0) et atteint-elle son minimum en ½(u-b) qui est supérieur à inf(u,-b). Donc f est décroissante sur [b,inf(u,-b)] et f(b)>=f(a), ce qui équivaut à g(b)>=0 tel que la fonction polynôme g(x)=-x(u-x)²-4u³. Mais g'(x)=(u-x)(3x-u) est négative sur ]-infini,⅓u[, en plus que g(-u)=0. Par conséquent, b<=-u. Aussi
f(-u)-f(a)=2u(-b-u)(3u-b)>=0 et -u<=a
En conclusion |a|<=u.
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