Dérivée n-ième:

Voici l'exercice:
Soit a un réel strictement positif et soit $Dérivée n-ième: Gif$ une fonction définie de ] $Dérivée n-ième: Gif$ [ dans $Dérivée n-ième: Gif$ et de classe $Dérivée n-ième: Gif$ pour tout entier naturel non nul $Dérivée n-ième: Gif$ .
Soit $Dérivée n-ième: Gif$ une fonction définie de [ $Dérivée n-ième: Gif$ [ dans $Dérivée n-ième: Gif$ tel que $Dérivée n-ième: Gif$ pour $Dérivée n-ième: Gif$ .
Montrez qu'il existe une suite double de rationnels $Dérivée n-ième: Gif$ indépendante de $Dérivée n-ième: Gif$ telle que pour tout entier naturel $Dérivée n-ième: Gif$ compris entre $Dérivée n-ième: Gif$ et $Dérivée n-ième: Gif$ , on ait: $Dérivée n-ième: Gif.latex?g^{(m)}(x)=\sum_{k=1}^{m}u(m,k).x^{\frac{k}{2}-m}$ .
Bonne chance.

Indication : Vandermonde

abdelbaki.attioui a écrit:: Indication : Vandermonde

Peux-tu détailler?! Et merci.

Sujet: Re: Dérivée n-ième: Lun 04 Mar 2013, 16:58

Je n'arrive pas à bien comprendre l'énoncé de cet exercice. Par exemple pour m=n=k=1, on doit trouver u(1,1) tel que pour tout x de [0,a^2[ pour f donnée, g'(x)=u(1,1)f'(sqrt(x))/sqrt(x), ceci bien évidemment n'est pas possible pour tout f et tout g...

Sujet: Re: Dérivée n-ième: Mar 05 Mar 2013, 08:14

g(x²)=f(x) pour |x|<a

abdelbaki.attioui a écrit:: g(x²)=f(x) pour |x|<a

Je l'ai omis, l'énoncé est complet maintenant...
Je me demande s'il y a autre méthode que la récurrence pour le démontrer?

Invité

Bonjour,

Il y a une formule explicite pour les coefficients:
u(m,k)=(-1)^(m-k)*(2m-1-k)!/((k-1)!*(m-k)!*2^(2m-k)).
On la démontre par récurrence.