Limite avec tan qui me cause prob

Salut je suis nouveau sur ce forum, et j'aimerai partager ac vs une limite qui m'a causé prob j'espère que je trouverai d'aide ici
Calculez Lim x->0 [1-tan(x + pi/4).tan(2x+ pi/4).tan(pi/4 - 3x)]/ x^3

Ce n'est pas évident. J'ai pris le développement limité de chaque terme autour de 0 (Maple s'est occupé de me faire le produit) et la limite que tu cherche est égale à 24.

radouane_BNE a écrit:

Ce n'est pas évident. J'ai pris le développement limité de chaque terme autour de 0 (Maple s'est occupé de me faire le produit) et la limite que tu cherche est égale à 24.

Il est facile de retrouver cette limite avec un programme. Cependant, il est certain qu'il existe une méthode sans en utiliser. Et vu que la question vient d'un étudiant en première, alors je pense que ça doit se limiter au programme des limites de première. Enfin si il l'a bien prise de ce programme .

Je propose cette solution pénible :

Dans tout ces calculs on prend t=tan(x) ce qui donne : lim _{x-> 0} t =0 et lim _{x-> 0} t/x =1




Eclaircissement:
-Pour passer à la deuxième ligne j'ai utilisé la formule de tan(a+b)=...
-Pour la troisième ligne le changement que j'ai fais et que j'ai factoriser les polynômes de troisième degré qui ont 1 parmi les racines
-Pour la quatrième un peu de calcul pour unifier les dénominateurs

Humber a écrit:

Je propose cette solution pénible :

Dans tout ces calculs on prend t=tan(x) ce qui donne : lim _{x-> 0} t =0 et lim _{x-> 0} t/x =1 ...

Bonjour Humber !!

Ce n'est pas pour critiquer !!
La Limite proposée par Antoniovivaldi est réputée difficile pour le Niveau Première !!!
Redouane l'a déjà siouligné . Ce que tu as fait est complètement Juste , seulement ... tu as utilisé un résultat d'analyse " Limite de la composée .... " avec le changement de Variable t=TAN(x) ... Il me semble qu'en Première , il ne soit pas AUTORISE ... J'attends une Confirmation de la part des Intervenants Enseignants au Lycée ....

Amicalement . LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

Humber a écrit:

Je propose cette solution pénible :

Dans tout ces calculs on prend t=tan(x) ce qui donne : lim _{x-> 0} t =0 et lim _{x-> 0} t/x =1 ...

Bonjour Humber !!

Ce n'est pas pour critiquer !!
La Limite proposée par Antoniovivaldi est réputée difficile pour le Niveau Première !!!
Redouane l'a déjà siouligné . Ce que tu as fait est complètement Juste , seulement ... tu as utilisé un résultat d'analyse " Limite de la composée .... " avec le changement de Variable t=TAN(x) ... Il me semble qu'en Première , il ne soit pas AUTORISE ... J'attends une Confirmation de la part des Intervenants Enseignants au Lycée ....

Amicalement . LHASSANE

Désolé Mr LHASSANE mais je ne vois pas ce qui est compliqué ici. Ce qu'il faut comprendre c'est que je n'ai fais qu'une substitution. Une simple substitution

Bonjour Humber !!

Je vais tâcher de t'expliquer en reprenant ....
On notera f(x)= [1- TAN(x + pi/4). TAN(2x+ pi/4). TAN(pi/4 - 3x)]/ x^3
définie sur IR*
On pourra l'écrire f(x)=g(x).{TAN(x)/x}^3
avec g(x)=[1-TAN(x + pi/4).TAN(2x+ pi/4).TAN(pi/4 - 3x)]/(TAN(x))^3

1) Puisque Lim {TAN(x)/x}^3 =1 lorsque x ---> 0 avec x<>0
et cela résulte d'une limite connue des élèves ...
Alors la limite proposée par Antoniovivaldi existera si et ssi
Lim g(x) quand x ---> 0+- existe
C'est un résultat du Cours ...
2) Examinons maintenanant l'expression g(x) ....
Tu l'as fait .... on peut exprimer g(x) en fonction de t=TAN(x)
pour obtenir une expression g(x)=h(t) sans la variable x dedans !!!!

Par continuité de la fonction TAN(.)
on a t ----> 0+- quand x ----> 0+-

MAINTENANT et c'est là ou Je veux en venir ....
Est-ce-que en Première et en conformité avec leur Programme , les élèves peuvent-ils écrire :
Lim g(x) qd x ---> 0+- EST EGALE à Lim h(t) qd t ---> 0+- ?????

Amicalement. LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

Bonjour Humber !!

Je vais tâcher de t'expliquer en reprenant ....
On notera f(x)= [1- TAN(x + pi/4). TAN(2x+ pi/4). TAN(pi/4 - 3x)]/ x^3
définie sur IR*
On pourra l'écrire f(x)=g(x).{TAN(x)/x}^3
avec g(x)=[1-TAN(x + pi/4).TAN(2x+ pi/4).TAN(pi/4 - 3x)]/(TAN(x))^3

1) Puisque Lim {TAN(x)/x}^3 =1 lorsque x ---> 0 avec x<>0
et cela résulte d'une limite connue des élèves ...
Alors la limite proposée par Antoniovivaldi existera si et ssi
Lim g(x) quand x ---> 0+- existe
C'est un résultat du Cours ...
2) Examinons maintenanant l'expression g(x) ....
Tu l'as fait .... on peut exprimer g(x) en fonction de t=TAN(x)
pour obtenir une expression g(x)=h(t) sans la variable x dedans !!!!

Par continuité de la fonction TAN(.)
on a t ----> 0+- quand x ----> 0+-

MAINTENANT et c'est là ou Je veux en venir ....
Est-ce-que en Première et en conformité avec leur Programme , les élèves peuvent-ils écrire :
Lim g(x) qd x ---> 0+- EST EGALE à Lim h(t) qd t ---> 0+- ?????

Amicalement. LHASSANE

Pourquoi parler de quand t tend vers 0 ( t= tan(x)) ? Ce qui tend vers 0 c'est bien x et non pas tan(x). De plus, je le redis encore une fois je n'ai fait cette substitution de tan(x)=t que pour diminuer la longueur de l'expression. Cela dit, vous pouvez bien laisser t=tan(x) sans faire cette substitution, vous verrez que je n'ai utilisé aucune notion non conforme au programme de première

Bonsoir Humber !!

Je suis d'accord avec Toi ..
Si on sait calculer Lim g(x) qd x ----> 0+- , c'est bien entendu réglé ...
J'ai tout à fait compris que tu as posé t=TAN(x) , c'est pour avoir une expression plus simple de g(x) avec ces calculs et ces développements que cela comporte !!

Amicalement . LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

Bonsoir Humber !!

Je suis d'accord avec Toi ..
Si on sait calculer Lim g(x) qd x ----> 0+- , c'est bien entendu réglé ...
J'ai tout à fait compris que tu as posé t=TAN(x) , c'est pour avoir une expression plus simple de g(x) avec ces calculs et ces développements que cela comporte !!

Amicalement . LHASSANE

Merci Cher LHASSANE

Salut tout le monde,
désolé pour le retard, on a eu cette limite dans devoir, et j'ai trouvé 24 à la fin, en utilisant les formules trigonométriques de base " tan(a+b)=..." et en simplifiant puis en factorisant on obtient facilement le résultat sauf qu'il y a un grand calcul Merci pour l'aide