fof(x)=4+x/3

Bonjour,
Déterminer toutes les fonctions f :IR---->IR de classe C^1 telles que pour tout x de IR

fof(x) = 4+x/3

AA++

on a: fofof(x) = 4+f(x)/3
f(4+x/3)=4+f(x)/3
f'(4+x/3)=f'(x)
on considere la suite Un=4+U(n-1)/3 et Uo=x

Un-6=(U(n-1)-6)/3
d ou Un=(x-6)/3^n+6
f'(x)=f'(Un) et on fait tendr n vers + l infin d ou f'(x)=f'(6)= constante
f(x)=ax+b on remplace f(f(x))=a(ax+b)+b
=a²x+ab+b
d ou a²=1/3 et b(a+1)=4
f(x)=x/rac(3)+4/(1/rac(3)+1) ou f(x)=-x/rac(3)+4/(-1/rac(3)+1)
deux solutions

A noter que si on lève la dérivabilité en 6 et ne garde comme contrainte que :
f C0 en 6 et C1 partout ailleurs

On a en fait une infinité de solutions à cette équation fonctionnelle.

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Patrick