application lineaire

slt svp si qlq peut maider dans cette demonstration
soit E un espace vectoriel de dimension finie n et soit B=(e1;e2;.........;en) une base de E
pour tout espace vectoriel F et toute famille
(u1;u2;.........;un) de n vecteurs de f il existe une application linéaire L définie de E vers F tq L(ei)=ui avec 1<i<n

alicia alicia a écrit:

slt svp si qlq peut m'aider dans cette démonstration
soit E un espace vectoriel de dimension finie n et soit B=(e1;e2;.........;en) une base de E
pour tout espace vectoriel F et toute famille
(u1;u2;.........;un) de n vecteurs de F , il existe une application linéaire L définie de E vers F tq L(ei)=ui avec 1=<i =<n

BJR !! Ce n'est pas compliqué ....

1ère Partie : Construction de L vérifiant tes Conditions ...

Soit x dans E , alors x s'écrit de MANIERE UNIQUE sous la forme
x= a1.e1 + a2.e2 + ... + ai.ei + .... +an.en
avec a1,a2, .... , an dans le corps de base IK ( que Tu n'as pas spécifié ) IK=IR ou C .
on pose alors :
L(x)= a1.u1+a2.u2+ .....+ ai.ui + .... + an.un.

Il s'agit de vérifier que L est LINEAIRE de E dans F .... Comment ???
Soient donc x et y dans E et s , t deux scalaires dans IK
Montrons que L(s.x + t.y)=s.L(x) + t.L(y)

Tu écris x=x= a1.e1 + a2.e2 + ... + ai.ei + .... +an.en
y= b1.e1 + b2.e2 + ... + bi.ei + .... +bn.en
avec les ai et bi dans IK pour tout 1<=i=<n

Tu évalues s.x + t.y=
(s.a1+t.b1).e1 + (s.a2+t.b2) .e2 + ... + (s.ai+t.bi).ei + .... +(s.an+t.bn).en
grâce aux règles de calcul dans l'espace vectoriel E

L(s.x + t.y )=(s.a1+t.b1).u1 + (s.a2+t.b2) .u2 + ... + (s.ai+t.bi).ui + .... +(s.an+t.bn).un

Si Tu développes cette expression , cela te donnera tous calculs faits :
L(s.x + t.y )=
s.{a1.u1+a2.u2+ .....+ ai.ui + .... + an.un} + t.{a1.u1+a2.u2+ .....+ ai.ui + .... + an.un}

soit = s.L(x) + t.L(y) CQFD

2ème Partie : Unicité de L vérifiant tes Conditions ...

Si f et g sont deux applicaions linéaires de E dans F qui vérifient tes Conditions , alors on aura :
(f-g)(ei)=f(ei) - g(ei)=ui - ui=0 ( vecteur nul de F ) pour tout i , 1<=i=<n
Si on pose h=f-g
h est un homomorphisme de E dans F qui vérifie h(ei)=0 pour tout i , 1<=i=<n

On en déduira que h(x)= h(a1.e1 + a2.e2 + ... + ai.ei + .... +an.en)
=0 pour tout x dans E d'ou h=0 ( homomorphisme nul ) et de là f=g

Et c'est Terminé !!!!

Amicalement . LHASSANE

merci infiniment pour votre réponse mais pouvez mexpliquer comment on montre lexistence de cette application autrement dit qui nous a dit que cet application existe et merci encore pour votre aide

alicia alicia a écrit:

merci infiniment pour votre réponse mais pouvez mexpliquer comment on montre lexistence de cette application autrement dit qui nous a dit que cet application existe et merci encore pour votre aide

Je viens juste de rentrer ....
En fait cela vient de la chose suivante .
Si f est une application LINEAIRE de E , ev sur IK , fans F ev sur IK aussi
On supposes E et F tous les deux de dimension finies et que
B={e1,e2, ..... , en} est une BASE de E supposé de dimension n .
Alors
pour tou x dans E
x= a1.e1 + a2.e2 + ...... + an.en.
alors f(x) = a1.f'e1)+a2.f(e2) + ..... + an.f'(en)

Tu vois bien qu'il SUFFIT de CONNAITRE les vecteurs f(e1), f(e2), ...... , f(en) de F pour pouvoir RECONSTITUER COMPLETEMENT f en tant qu'application linéaire !!!

c'est cela qu'il faut retenir ...

Amicalement . LHASSANE

mais svp
les f(ei) ne sont pas forcement des elements de F

Mais que si alicia alicia !!!
Puisque f est une application linéaire de E dans F
Donc f(y) est dans F pour n'importe quel vecteur y dans E .

PARDON CETAIT PAS LA QUESTION QUE JE VEUX POSER
mais qui nous a dit quon peut trouver une application linéaire qu est definie de E vers F cest ca mon prb

Mais c'est l'énoncé de ton Exo ...

il dit la chose suivante :
On se donne un ev E de dim n et de base {e1,e2,.....,en}

PUIS : un autre ev F et une famille {u1,u2, ..... , un} de n vecteurs quelconques de F

et on te demande de montrer
qu'il n'existe qu' UNE SEULE APPLICATION LINEAIRE L de E dans F
et qui satisfasse L(ei)=ui pour tout indice i compris entre 1 et n .

merci infiniment

alicia alicia a écrit:

slt svp si qlq peut maider dans cette demonstration
soit E un espace vectoriel de dimension finie n et soit B=(e1;e2;.........;en) une base de E
pour tout espace vectoriel F et toute famille
(u1;u2;.........;un) de n vecteurs de f il existe une application linéaire L définie de E vers F tq L(ei)=ui avec 1<i<n

Il y avait deux erreurs dans ton ENONCE .... Le voilà CORRIGE :

alicia alicia a écrit:

slt svp si qlq peut maider dans cette demonstration
soit E un espace vectoriel de dimension finie n et soit B=(e1;e2;.........;en) une base de E
pour tout espace vectoriel F et toute famille
(u1;u2;.........;un) de n vecteurs de F il existe une application linéaire L définie de E vers F tq L(ei)=ui avec 1=<i =<n

C'est celà qui t'embarrassait .....

merci si possible une autre question
surement le f(ei) est égale a un certain élément de F mais pas forcement il va etre egale a
ui ................................................

C'est cela !!
Mais Nous , on en a construit une pour laquelle L(ei)=ui 1<=i=<n
avec les ui , 1=<i=<n donnés à l'avance ...
Et on n'en a qu'une SEULE , c'est cela le But de l'exo !!!

a++++ LHASSANE