- alicia alicia a écrit:
- slt svp si qlq peut m'aider dans cette démonstration
soit E un espace vectoriel de dimension finie n et soit B=(e1;e2;.........;en) une base de E
pour tout espace vectoriel F et toute famille
(u1;u2;.........;un) de n vecteurs de F , il existe une application linéaire L définie de E vers F tq L(ei)=ui avec 1=<i =<n
BJR !! Ce n'est pas compliqué ....
1ère Partie : Construction de L vérifiant tes Conditions ...
Soit x dans E , alors x s'écrit de MANIERE UNIQUE sous la forme
x= a1.e1 + a2.e2 + ... + ai.ei + .... +an.en
avec a1,a2, .... , an dans le corps de base IK ( que Tu n'as pas spécifié ) IK=IR ou C .
on pose alors :
L(x)= a1.u1+a2.u2+ .....+ ai.ui + .... + an.un.
Il s'agit de vérifier que L est LINEAIRE de E dans F .... Comment ???
Soient donc x et y dans E et s , t deux scalaires dans IK
Montrons que L(s.x + t.y)=s.L(x) + t.L(y)
Tu écris x=x= a1.e1 + a2.e2 + ... + ai.ei + .... +an.en
y= b1.e1 + b2.e2 + ... + bi.ei + .... +bn.en
avec les ai et bi dans IK pour tout 1<=i=<n
Tu évalues s.x + t.y=
(s.a1+t.b1).e1 + (s.a2+t.b2) .e2 + ... + (s.ai+t.bi).ei + .... +(s.an+t.bn).en
grâce aux règles de calcul dans l'espace vectoriel E
L(s.x + t.y )=(s.a1+t.b1).u1 + (s.a2+t.b2) .u2 + ... + (s.ai+t.bi).ui + .... +(s.an+t.bn).un
Si Tu développes cette expression , cela te donnera tous calculs faits :
L(s.x + t.y )=
s.{a1.u1+a2.u2+ .....+ ai.ui + .... + an.un} + t.{a1.u1+a2.u2+ .....+ ai.ui + .... + an.un}
soit = s.L(x) + t.L(y) CQFD
2ème Partie : Unicité de L vérifiant tes Conditions ...
Si f et g sont deux applicaions linéaires de E dans F qui vérifient tes Conditions , alors on aura :
(f-g)(ei)=f(ei) - g(ei)=ui - ui=0 ( vecteur nul de F ) pour tout i , 1<=i=<n
Si on pose h=f-g
h est un homomorphisme de E dans F qui vérifie h(ei)=0 pour tout i , 1<=i=<n
On en déduira que h(x)= h(a1.e1 + a2.e2 + ... + ai.ei + .... +an.en)
=0 pour tout x dans E d'ou h=0 ( homomorphisme nul ) et de là f=g
Et c'est Terminé !!!!
Amicalement . LHASSANE
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