Arithmétique et Combinatoire

n un entier naturel >11.
Soit A ={1,...,4n} et X une partie de A tel que Card(X)=3n+1.

Montrer que X contient au moins trois nombres x,y,z tel que : x/y et y/z.

Pour n = 1, ou 2, c'est vrai, mais il y aurait une exception avant 12. En plus si on suppose que pour un n > 12, la proposition est vérifiée pour tous les nombres k de 12 à n -1, on montrerait qu'elle l'est en n tel que pour tout k = 12, n -1 : x_{3k +1} > 4*k, où les éléments de X sont supposés ordonnés dans l'ordre croissant des indices.

Erreur corrigée pour l'hypothèse de contraintes sur les éléments x_{3k +1} > 4k où k = 12,n -1; dans la récurrence, sinon, un triplet se trouverait dans {1, 2, 3..., 4k} inclus dans {1, 2, 3..., 4n}. Donc, avec la minimisation des éléments x_{3k +1}, x_{3n -2} > 4n -4, donc (x_l)_{l = 3n -2,3n +1}=(4n -3, 4n -2, 4n -1, 4n).

x|y و y|z لأن x <= n و y <= 2n