Identité remarquable.

Féru Nombre de messages : 31 Age : 36 Date d'inscription : 24/10/2009

Bonjour,

Prouvez que:

$Identité remarquable. Gif$

En d'autres termes, montrer que :

$Identité remarquable. Gif$

Féru Nombre de messages : 63 Age : 31 Date d'inscription : 14/11/2010

La vérification de l'existence du produit est immédiate via l'inégalité triviale $Identité remarquable. 3043ed95e7f85c001cb11e105e118e7eaa68fde5$ , l'autre somme est dès lors bien définie avec des majorations évidentes
Remarquons tout d'abord que pour tout entier naturel $Identité remarquable. 13fbd79c3d390e5d6585a21e11ff5ec1970cff0c$ on a

$Identité remarquable. 4958afc2f18b53d11103d27246fd688fc5e72ca6$

on peut alors écrire
$Identité remarquable. A8382f64089739578b0a5df892527232e33daf3f$
$Identité remarquable. Dacc08973e26a14cdbbec6d755695cef985430c2$

$Identité remarquable. D02547dfbea8a35977370e9bf03dad5407826af4$
$Identité remarquable. Cef676c564fb5f10f8955ae529de49e3bd056e61$
$Identité remarquable. 1eaa5f212c529a91313e311dafba28a0c75cf3e3$
Il suffit donc d'établir l'identité

$Identité remarquable. 324d530f1bc884063e41f34e907f376b08e9a3fb$
on a donc
$Identité remarquable. 8f401237b0ae6d3ebdd2f6a9c683de30d47c9e14$
$Identité remarquable. 92600df9d3babd03bd93ad6333274873006ec9c0$
$Identité remarquable. 4d114f2ab50f16bb67ca82e3d99dee91af7f40c1$
$Identité remarquable. 8d32795a5317da5476011c1078505cd877e51904$
Notons $Identité remarquable. Cbc69e5eac7ed9f198cc43774dd7257cccff975f$ le coefficient dominant du polynôme $Identité remarquable. 511993d3c99719e38a6779073019dacd7178ddb9$ , remarquons que l'on a
$Identité remarquable. 91c0a7e99b50484c161094947442126d00bbf7c1$
$Identité remarquable. Cf00f6d34e3e973b0c0294c62a1c18fe1fc1593a$
$Identité remarquable. 83c6ef104a12a272beb52529df497b7185950463$
et que
$Identité remarquable. Fdfbf2a8f59a18bab900396558bcdcd160c57097$
ainsi
$Identité remarquable. 8d32795a5317da5476011c1078505cd877e51904$
$Identité remarquable. 0c187473254143bf6aaa9a2266c1cd1083b7c2c3$
$Identité remarquable. 5969673bfb2d2829493f5d2056e4fb85c6edd723$
Cela achève la démonstration $Identité remarquable. 5535bcdec4c47f48bc7dcaaf51ba2b5901a202e5$

Jolie démonstration, sinon pour faire simple il suffit de démontrer par récurrence :

$Identité remarquable. Gif$

Ce qui est facile à démontrer. Une fois c'est fait, on fait tendre n à l'infini et on obtient bien l'identité en question.