A(x)cos(x)+B(x)sin(x)

Soient A et B 2 polynômes réels non nuls.
Montrer que l'ensemble des zéros réels de x--> A(x)cos(x)+B(x)sin(x) est discret.

Hmm ça a l'air d'être facile.

Soit x_0 un point d'accumulation; supposons que x_0 ne soit pas de la forme (2k+1)/2 pi (donc tan x_0 est fini); sinon substituer de partout x' = pi/2 - x (de sorte que cos x et sin x s'échangent et les polynômes changent).
Alors on a que x_0 est un point d'accumulation de l'ensemble des x tels que tan x = -A(x)/B(x).
Mais les deux membres de l'équation sont holomorphes dans un voisinage de x_0; vu qu'ils sont égaux sur un ensemble qui possède un point d'accumulation, ils doivent être égaux.
Contradiction, car tan x n'est pas rationnel.

EDIT : lol, cet argument peut être donné dès le début: l'ensemble des racines d'une fonction holomorphe non nulle est discret.

mathman a écrit:

EDIT : lol, cet argument peut être donné dès le début: l'ensemble des racines d'une fonction holomorphe non nulle est discret.

c'est le Principe des zéros isolés ( holomorphe non constante)

On peut supposer que A et B premiers entre eux. Alors A²+B² ne s'annule pas.
Pour tout x de R , on pose : a(x)=Arcsin(A(x)/(A²(x)+B²(x))^(1/2))
==> sin(a(x))=A(x)/(A²(x)+B²(x))^(1/2)
==> cos(a(x))=|B(x)|(A²(x)+B²(x))^(1/2) car a(x)€[-pi/2,pi/2]

donc A(x)cos(x)+B(x)sin(x)=0
<==> sin(x+b(x))=0 avec b(x)=signe(B(x))a(x)
<==> x+b(x)=k(x)pi avec k(x) dans Z
Sur chaque composante connexe I ( intervalle maximal) de {x€R/B(x)#0} ( Il n'y a qu'un nombre fini de tel intervalle) B garde un signe constant et Comme k est valeurs dans Z et continue, elle est constante sur I. L'ensemble de solutions dans I de l'équation x+b(x)=kpi est fini ou vide d'aprés la définition de a.
Donc l'ensemble de solutions de A(x)cos(x)+B(x)sin(x)=0 est fini.