OWN

soit x,y et z des réel non nuls ,tels que x+y+z=0
Prouvez que :

Bonjour Mr Boubou math , Bon En utilisant la condition x+y+z=0

l'inégalité est équivaut à :

4 (xy+yz+zx)^4 + 15 x²y²z² (xy+yz+zx) >= 0

-si x>= 0 , y=< 0 ,z=< 0 posons y=-u , z=-v on a alors u+v =x avec (u,v)>0

il suffit donc de prouver que :

(u²+uv+v²) (4(u²+uv+v²)^3 -15u²v²(u+v)²) >= 0

<==> (u²+uv+v²) ( 4u^6+ 12u^5v+9u^4v² -2u^3v^3 +9u²v^4 +12uv^5+4v^6) >= 0

ce qui est juste

-si x>=0 ,y>=0 , z=<0 alors il suffit de prouver que

(x²+xy+y²) ( 4(x²+xy+y²)^3 -15x²y²(x+y)² ) >= 0

qui est dèja prouvé dans le cas précédant

ça serait excellent si tu pouvais montrer la première équivalence ,sinon le reste est bon

avec plaisir

l'inégalité <==>

Salut les amis :

boubou math a écrit:

soit x,y et z des réel non nuls ,tels que x+y+z=0
Prouvez que :

alidos a écrit:

avec plaisir

l'inégalité <==>

alidos a écrit:

Bonjour Mr Boubou math , Bon En utilisant la condition x+y+z=0

l'inégalité est équivaut à :

4 (xy+yz+zx)^4 + 15 x²y²z² (xy+yz+zx) >= 0

-si x>= 0 , y=< 0 ,z=< 0 posons y=-u , z=-v on a alors u+v =x avec (u,v)>0

il suffit donc de prouver que :

(u²+uv+v²) (4(u²+uv+v²)^3 -15u²v²(u+v)²) >= 0

<==> (u²+uv+v²) ( 4u^6+ 12u^5v+9u^4v² -2u^3v^3 +9u²v^4 +12uv^5+4v^6) >= 0

ce qui est juste

-si x>=0 ,y>=0 , z=<0 alors il suffit de prouver que

(x²+xy+y²) ( 4(x²+xy+y²)^3 -15x²y²(x+y)² ) >= 0

qui est dèja prouvé dans le cas précédant

bon methode khoya ali
mais voici une autre plus simple (désolé )

Si seulement quelqu'un peux me donner une idée sur Les sigma que vous utilisez au dessus de "cyc" et 'sym" , merci d'avance .

Sygma cyclique comme exemple , Sigma 'Cyc' f(a,b,c) = f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)
Sygma symétrique comme exemple , Sigma 'Sym' a^3 .b².c = a^3.b².c+a²b^3.c+a.b².c^3+c²b^3.a
sauf erreur vu que c'est long je peux me tromper , mais le principe et de permuter entre les termes

Soit P(a,b,c) une expression qui depend des variables a ,b et c .
On note :
sigma_cyc P(a,b,c)=P(a,b,c)+P(b,c,a)+P(c,a,b)
sigma_symP(a,b,c)=P(a,b,c)+P(a,c,b)+P(b,a,c)+P(b,c,a)+P(c,b,a)+P(c,a,b)
Une fois le cas de 3 variable est compris tu peut comprendre le cas generale