Morphisme de groupes continu

U ={z€C/|z|=1}
Soit f:IR --> U un Morphisme de groupes continu
montrer qu'il existe a réel tel que f(t)=exp(iat) qqs t de IR.

en utilisant le théorème de relevement, on retrouve que il existe une application h continue de R vers R tel que f = e^ih

or f est un morphisme de groupe donc pour tout reels t et t'
f(t + t') = f(t)*f(t')
<==> e^ih(t+t') = e^ih(t)*e^ih(t') = e^i(h(t) + h(t'))
<==> il existe un entier k tel que h(t+t') = h(t) + h(t') + 2kpi (1)

donc il suffit de trouver une fonction h qui satisfait l'equation 1.
on peut donc prendre k fixe pour tous les reels et égal a 0.
l'equation se transforme donc en h(t+t') = h(t) + h(t'). (2)
la solution de la deuxieme equation est l'ensemble des fonctions linéaires (facile a résoudre).
d'ou h est linéaire càd qu'il existe un reel a tel que pour tout reel t h(t) = at
C/C : il existe un reel a tel que pour tout reel t f(t) = e^iat.

schwartz a écrit:

en utilisant le théorème de relevement, on retrouve que il existe une application h continue de R vers R tel que f = e^ih

or f est un morphisme de groupe donc pour tout reels t et t'
f(t + t') = f(t)*f(t')
<==> e^ih(t+t') = e^ih(t)*e^ih(t') = e^i(h(t) + h(t'))
<==> il existe un entier k tel que h(t+t') = h(t) + h(t') + 2kpi (1)

donc il suffit de trouver une fonction h qui satisfait l'equation 1.
on peut donc prendre k fixe pour tous les reels et égal a 0.
l'equation se transforme donc en h(t+t') = h(t) + h(t'). (2)
la solution de la deuxieme equation est l'ensemble des fonctions linéaires (facile a résoudre).
d'ou h est linéaire càd qu'il existe un reel a tel que pour tout reel t h(t) = at
C/C : il existe un reel a tel que pour tout reel t f(t) = e^iat.

En fait, h(t+t') = h(t) + h(t') + 2k(t,t')pi ( k dépend de t et t')
la continuité de h permet de montrer que k est constante!

g dis que k depend de t et t', parce que g ecrit que pour tout t et t' il existe un k telque .....
sinon t'as raison jepense qu'il vaut mieux montrer que k est constant.
merci