Problème.

Salam.
Voici des questions intéréssantes abordables par les sups (sauf peut-etre le 5).
Problème.
1- Soit f:[0,1]--->IR une fonction strictement croissante. Montrer que l'ensemble des ses points de discontinuités est dénombrable.
2- Construire une fonction strictement croissante f:[0,1]--->[0,1] telle que l'ensemble des ces points de discontinuités est infinie.
3- Soit A un sous-ensemble dénombrable de [0,1]. Construire une fonction f:[0,1]-->[0,1] strictement croissante telle que A est son ensemble de points de discontinuités.
Bonus.
4-Existe-t-il une fonction f continue sur les irrationneles et discontinue sur les rationnels.
5-Existe-t-il une fonction f continue sur les rationneles et discontinue sur les irrationnels.

Dans la première question il faut voir que chaque point de discontinuité a son " propre" voisinage, en effet si  et  sont deux points de discontinuité de  avec  alors par monotonie de  les limites à droites et à gauches existent et on a par passage à la limite  donc on peut associer aux deux points  et  les intervalles ouverts disjoints et non vides  et , qui eux même ( contiennent à priori des rationnels) peuvent être associés à deux rationnels toujours distincts, et on vient donc de construire une injection entre l'ensemble des points de discontinuité et l'ensemble dénombrable .
 
Pour résoudre les questions  et  il suffira de résoudre la question :
D'abord on va noter  la suite des éléments de l'ensemble dénombrable  ensuite, définissons la fonction  par :

On va définir alors la fonction  par :

La fonction  est dès lors strictement croissante par croissance des fonctions , elle est bien définie puisque 

elle est continue sur tout point  n'appartenant pas à  en effet :
si  alors les fonctions  sont continues en  car on peut trouver un voisinage de  sur lequel la fonction  soit constante donc continue en , comme il y a clairement convergence normale de  sur , on en déduit immédiatement la continuité de  sur , il suffit de vérifier maintenant qu'elle n'est pas continue en un point , pour ce faire on peut directement voir que 
 

Pour se ramener à [0,1] il suffit de multiplier la série par une constante bien choisie,donc la fonction  convient .
La dernière question est une conséquence d'un résultat topologique qui stipule que l'ensemble des points de continuité d'une application quelconque est 
une intersection dénombrable d'ouverts. Or  ne peut pas vérifier çela 

Je me permets de te faire part d'un exercice similaire et intéressant :
 
Soit  continue à gauche en tout point. Montrer que l’ensemble de ses points de discontinuité est dénombrable.

Salam Vz!
Bien vu!
Pour ton problème, si on associe à chaque x l'élément de l'ensemble de cantor, le plus proche de x à sa droite, il me semble qu'on retrouve une fonction continue à gauche en tout point discontinue néanmoins en tout point de l'ensemble de cantor...