Besoin d'aide sur un exo

Bonsoir,

Soit f une application de N vers N telle que: pour tout n de N, f(f(n))<f(n+1).
On veut montrer que f=id(N).

1)montrer que pour tout n de N, pourr tout x>=n, f(x)>=n.
2)Soit n de N et a>=n tel que f(a)=min(f(x) tq x>=n). Montrer a=n
3) En deduire que f zst strictement croissante, puis conclure.

Merci pour votre aide :study: 

Voila un deuxieme exo sur lequel je ne trouve pas comment faire:

Montrer que l'application f de NxN* dans N definie par f((p,q))=p^2 +q^2 +2pq+p est injective. Est elle surjective ?

acab8 a écrit:

Voila un deuxieme exo sur lequel je ne trouve pas comment faire:

Montrer que l'application f de NxN* dans N definie par f((p,q))=p^2 +q^2 +2pq+p est injective. Est elle surjective ?

f((p,q))=f((r,s))
==> p² +q² +2pq+p =r²+s²+2rs+r
==> (p +q)² +p =(r+s)²+r
==> (p +q)² - (r+s)²=r-p
==> (p +q - r-s)(p+q+r+s)=r-p
Mais p+q+r+s>|r-p| car q>0 et s>0
et p+q+r+s divise |r-p| ==> |r-p|=0==> r=p et par suite q=s
Donc f injective

f(p,q)>0 car q>0 alors f non surjective ( 0 n'a pas d'antécédent)

acab8 a écrit:

Bonsoir,

Soit f une application de N vers N telle que: pour tout n de N, f(f(n))<f(n+1).
On veut montrer que f=id(N).

1)montrer que pour tout n de N, pourr tout x>=n, f(x)>=n.
2)Soit n de N et a>=n tel que f(a)=min(f(x) tq x>=n). Montrer a=n
3) En deduire que f zst strictement croissante, puis conclure.

Merci pour votre aide :study: 

C'est un exercice d'OM classique déjà posté