f(P) = (1 + X)P' + P.

Soit E l’espace vectoriel des polynômes réels de degré au plus n. On pose : f(P) = (1 + X)P' + P.
Montrer que f est un endomorphisme de E et étudier sa diagonalisabilité

Le fait que f est un endomorphisme est clair.
Quant à la diagonalisabilité, c'est plutôt laid. Il faut trouver les valeurs propres...

Bonsoir à Tous et Toutes!
J'ai déjà rencontré cet exo lorsque j'étais étudiant en MP ( il y a bien longtemps....en 1969)
Si Lambda non nulle est valeur propre de f alors il devrait exister P non nul tq (1+X) P'+P=Lambda .P
D'ou : P'/P=(Lambda-1)/(1+X)
Si a est une racine de P d'ordre de multiplicité k alors dans la fraction P'/P va figurer le terme k/(X-a) et P'/P est en fait la somme de tous les termes de type k/(X-a) , somme étendue à toutes les racines distinctes de P .
CONCLUSION : pour chaque Lambda les vecteurs propres associés sont proportionnels à (1+X)^(Lambda-1) . En d'autres termes pour chaque s entier (1+X)^s est vecteur propre associé à la valeur propre s+1
Mais il faut veiller à ne pas dépasser n pour les degres des polynomes !!!!
On peut alors considérer la base suivante de l'ev de travail ( de dim n+1 ) )à savoir
{1 , (1+X) , (1+X)^2 ,......, (1+X)^n } qui est une base formée de vecteurs propres associés aux vp 1,2,3,......,n+1
et relativement à cette nouvelle base f est diagonale .
Qu'en pensez_vous???? LHASSANE