Exercices sur les séries numériques

Soit Un=1/[(4n+1)(4n+3)]

a) Justifier que la série de terme général Un converge.
b)Montrer que qlq soit n entier naturel , Un=1/[2(4n+1)] - 1/[2(4n+3)] = 1/2 intégrale de 0 à 1 x^4n dx - 1/2 intégrale de 0 à 1 x^4n+2 dx
c)En déduire que la somme des uk tel que k varie de 0 à n = 1/2 intégrale de 0 à 1 1/(1+t²) dt -1/2 intégrale de 0 à 1 (t^4n+4)/(1+t²) dt

d) en déduire la somme de la série .

J'aurai besoin d'aide sur les deux dernières questions , merci.

2Uk=1/(4k+1) -1/(4k+3)=int(0..1)[x^(4k)-x^(4k+2)]dx=int(0..1)[1-x^2]x^(4k)dx

==> 2(somme k=0..n)Uk=int(0..1)[1-x^2](somme k=0..n)x^(4k)dx

Mais (somme k=0..n)x^(4k)=(1-x^(4n+4))/(1-x^4)
(somme de la suite géométrique de raison x^4 pour x#1)

2(somme k=0..n)Uk
=int(0..1)(1-x^(4n+4))/(1+x^2) dx
=int(0..1)1/(1+x^2) dx-int(0..1)x^(4n+4))/(1+x^2) dx

Mais 0<int(0..1)x^(4n+4))/(1+x^2) dx=<int(0..1)x^(4n+4)) dx=1/(4n+5) --->0
==> 2(somme k=0..+oo)Uk =int(0..1)1/(1+x^2) dx=arctan(1)=pi/4

==> (somme k=0..+oo)Uk =pi/8

Merci , votre aide m'a été précieuse