Probleme octobre 2013

Soit a un réel >0. Trouver une bijection explicite entre [0,a] et ]0,a].

Spoiler:

sauf erreur

galillee56 a écrit:

on pose f(x) qui vaut a/2 si x=0 a/(n+2) si x=a/n n>=2 et x sinon

que vaut l'image de a/rac(2)

ben ca rentre dans le 3em ca vaut a/rac(2)

ok j'ai pas vu le "sinon"

galillee56 a écrit:

Spoiler:

sauf erreur

Je pense que cette application n'est pas bien construite.
Il est clair que a entre dans le troisième cas, donc f(a)=a. Ainsi que a/3, donc f(a/3)=a/3.
a/3 entre aussi dans le second cas, d'où: f(a/3)=a/5. Ce qui contredit le caractère bijectif qu'on souhaite...
Le problème demeure sans solution.

je vois pas pourquoi a/3 entre dans le 3em cas ??

bon pour qu'il ne reste plus de doute montrons que cette application est bien bijetive
-injectivite: soit x,y dans [0,a] tel que f(x)=f(y) si x=0 f(x)=a/2 don f(y)=a/2 supposons que y est different de 0 si y s'ecrit sous la forme a/n f(y)=a/(n+2) donc n=0 pas possible sinon f(y)=y=a/2 ce qui n est pas possible car f(y)=a/2=a/4 donc y=0
si il existe n>=2 tel que x=a/n f(x)=a/(n+2) f(y)=a/(n+2) y=0 => n=0 impossible
si y ne s'ecrit pas sous la forme a/k k>=2 alors f(y)=y=a/(n+2) impossible donc il existe k>=2 tel y=a/k a/(k+2)=a/(n+2) => k=n
si x est dans le troisieme cas f(x)=x=f(y) si y=0 => x=a/2 donc elle serait dans le 2 em cas impossible
si y est dans le 2em cas ceci impliquerai que x l'est aussi impossible
donc f(y)=y=x donc injective dans tout les cas.
-surjectivite soit y dans ]0,a] si il existe k dans N tel a/y=k alors si k=1 y=a on a bien f(a)=a si k=2 y=a/2 x=0 si k>2 x=a/(k-2) sinon a/y n est pas un entier donc f(y)=y
d'ou la bijectivite

galillee56 a écrit:

je vois pas pourquoi a/3 entre dans le 3em cas ??

a/3 ne s'écrit pas de la forme a/(n+2) où n est un entier supérieur à 2, et il n'est pas égal à a/2.
C'est pour cela qu'il doit appartenir au troisième cas, alors f(a/3)=a/3.
Mais, on a d'après le second cas f(a/3)=a/5.
Si tu n'est pas convaincu, c'est quoi l’antécédent de a/3?

ah non non moi j'ai dis si x=a/n avec n>=2 alors f(x)=a/(n+2)

galillee56 a écrit:

ah non non moi j'ai dis si x=a/n avec n>=2 alors f(x)=a/(n+2)

Et puisque f est censé être bijective, alors si f(x)=a/(n+2) pour un certain entier naturel supérieur ou égal à 2 alors x=a/n.
Que penses-tu?
De plus, je trouve que c'est bizarre ce qui est demandé! En effet, le nombre de points dans [0,a] est plus grand que celui dans ]0,a]!!!

nmo a écrit:

galillee56 a écrit:

ah non non moi j'ai dis si x=a/n avec n>=2 alors f(x)=a/(n+2)

Et puisque f est censé être bijective, alors si f(x)=a/(n+2) pour un certain entier naturel supérieur ou égal à 2 alors x=a/n.
Que penses-tu?
De plus, je trouve que c'est bizarre ce qui est demandé! En effet, le nombre de points dans [0,a] est plus grand que celui dans ]0,a]!!!

euhh il y a plus de point dans R+ que dans [0,1] est pourtant il y a une bijection exp(-x) (en fait ''plus de point'' n'a pas de sens on travaille sur des intervalles il y a une infinite de point)