Convergence d'une suite.

Salam!
Problème:
Etudier la convergence de la suite 1/(nsin(n)).

Indication
sin(n) = sin(n-1)cos(1) +sin(1)cos(n-1) pour tout n de IN*et conclure pour la limite de ta suite
bon courage

aissa a écrit:

Indication
 sin(n) = sin(n-1)cos(1) +sin(1)cos(n-1) pour tout n de IN*et conclure pour la limite de ta suite
 bon courage

Salam Mr.aissa!
Vous deverez peut être expliciter un peu plus votre solution car la mienne est un "peu" plus compliquée!
Merci.

Il existe deux suites d'entiers strictement croissantes (p_n) et (q_n) telle que :
|3pi/2 - p_n/(4q_n+1)| =<1/(4q_n+1)²  ( Les réduites de 3pi/2)

==>  |p_n-3 (4q_n+1)pi/2|<1/(4q_n+1)  

1+sin(p_n)=1-cos(p_n+pi/2)=2sin²( p_n/2+pi/4)
mais |sin( p_n/2+pi/4)|= |sin( p_n/2 -3(4q_n+1)pi/4)|=<1/2(4q_n+1)

==> 1+sin(p_n)=<1/2(4q_n+1)²
==> p_n(1+sin(p_n)=< p_n/2(4q_n+1)² ---> 0 car  p_n/(4q_n+1) ---> 3pi/2
==> p_n sin(p_n)  n'a ni de limite fini  ni la limite +00  car p_n -->+00
==> n.sin(n)  n'a ni de limite fini  ni la limite +00
En considérant  1-sin(p_n)=1-cos(p_n-pi/2) on montre que  n.sin(n)  ne converge pas vers -00
Donc 1/n.sin(n) n'a pas de limite

abdelbaki.attioui a écrit:

Il existe deux suites d'entiers strictement croissantes (p_n) et (q_n) telle que :
|3pi/2 - p_n/(4q_n+1)| =<1/(4q_n+1)²  ( Les réduites de 3pi/2)

==>  |p_n-3 (4q_n+1)pi/2|<1/(4q_n+1)  

1+sin(p_n)=1-cos(p_n+pi/2)=2sin²( p_n/2+pi/4)
mais |sin( p_n/2+pi/4)|= |sin( p_n/2 -3(4q_n+1)pi/4)|=<1/2(4q_n+1)

==> 1+sin(p_n)=<1/2(4q_n+1)²
==> p_n(1+sin(p_n)=< p_n/2(4q_n+1)² ---> 0 car  p_n/(4q_n+1) ---> 3pi/2
==> p_n sin(p_n)  n'a ni de limite fini  ni la limite +00  car p_n -->+00
==> n.sin(n)  n'a ni de limite fini  ni la limite +00
En considérant  1-sin(p_n)=1-cos(p_n-pi/2) on montre que  n.sin(n)  ne converge pas vers -00
Donc 1/n.sin(n) n'a pas de limite

En lisant la première ligne! J'anticipe le reste! C'est presque la même chose que j'ai fait! L'approximation |a-p/q|<1/q² simplifie considérablement le problème mais c'est encore possible de résoudre ce problème avec des outils plus simples!
Bien vu Mr.Attioui!