suite

salam, une queston a resoudre,
soit U(n) une suite de termé U(0)=a entre [-2,2] et U(n+1)=√(2-U(n))
1- montrer que U(n) est definie et que 0<= U(n)<= 2  pr tt n >= 1
2- monter que si U(n) est convergente alrs elle de limite egale a 1
3- on pose V(n)=|u(n)-1|  monter que V(n) est decroissante et deduire qu'elle convergente
4-monter que lim V(n)=0  ( indice vous pouvez utiliser l absurde)
5-deduire que limite de U(n)=1


je m'interesse a la question 3 !!merci d avance

a=0 ==> u(n)=0 pr tt n ==> la question 5- est fausse

a<0 ==> u(1) n'est pas définit , a doit être >0

0<a<1 ==> u(n)<1 et u croissante car u(n+1)=√U(n)>U(n)
==> v(n)=1-u(n) et v est décroissante positive ==> v converge

a=1 ==> u(n)=1 pr tt n

a>1 ==> u(n)>1 et u est décroissante car u(n+1)=√U(n)<U(n)
==> v(n)=u(n)-1 et v est décroissante positive ==> v converge

je sui desolé Mr abdelbaki j'ai commis une erreur le U(n+1)=sqrt(2-U(n))

U(0)=a entre [-2,2] et U(n+1)=√(2-U(n))

3- V(n)=|u(n)-1|

V(n+1)
=|u(n+1)-1|
=|u(n+1)²-1|/(u(n+1)+1)
=|1-u(n)|/(u(n+1)+1)
=Vn/(u(n+1)+1)
=<Vn ==> V décroissante et comme en plus elle est positive ( minorée ) donc v converge vers un L>=0

4- si L>0 ==> V(n+1)/V(n)= 1/(u(n+1)+1) --> 1 ===> u(n) -->0 absurde avec 2-
Donc L=0

merci bien si abdelbaki