Bien vu Abdelali
Je continue la preuve par changement de variable:
On cherche p et q : sup{|V(1-x²)-px-q|: x de [0,1]}=< (V2-1)/2
mais sup{|V(1-x²)-px-q|: x de [0,1]}=sup{|cos(t)-p.sin(t)-q| : t de [0,pi/2]}
soit f(t)=cos(t)-p.sin(t)-q , t de [0,pi/2]}
f'(t)=-sin(t)-p.cos(t) s'annule en un unique to de [0,pi/2[ et tan(to)=-p ( alors p=<0 )
f(to)=cos(to)-p.sin(to)-q = cos(to)+tan(t0).sin(to)-q =(cos²(to)+sin²(to))/cos(to) - q
==> f(to)=1/cos(to) -q
or 1/cos²(to)=1+tan²(to)=1+p² et cos(t0)>0 ==> f(t0)=V(1+p²)-q et on a alors
sup{|cos(t)-p.sin(t)-q| : t de [0,pi/2]}=|V(1+p²)-q|=< (V2-1)/2
|f(0)|=|1-q|=< |V(1+p²)-q|
|f(pi/2)|=<| -p-q|=<|V(1+p²)-q|
==> p=-1 et q=(V2 +1)/2 ( voir solution d'Abdelali)
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وقل ربي زد ني علما