Détermination de deux réels:

Déterminer l'unique couple de réels tel que: .
Bonne chance.

p=-1 et q=(racine(2)+1)/2 ma preuve est un peu longue je la publierai demain inchaallah

Indication
On cherche p et q : sup{|V(1-x²)-px-q|: x de [0,1]}=< (V2-1)/2
mais sup{|V(1-x²)-px-q|: x de [0,1]}=sup{|cos(t)-p.sin(t)-q| : t de [0,pi/2]}

Bonjour , (exercice intéressant !)

condition nécessaire :

si un tel couple (p,q) existe alors on doit d'abord avoir les deux conditions ,

 |1 - q| =< (V2 - 1)/2 (x=0)

 |p + q| =< (V2 - 1)/2 (x=1)

l'inégalité triangulaire donne alors |p + 1| =< V2 - 1 et donc p =< V2 - 2 < 0

et pour x=-p/V(1+p²) £ ]0,1[ on obtient la troisième condition ,

 |V(1+p²) - q| =< (V2 - 1)/2

notons a = -p et r = (V2 - 1)/2

le réel q doit donc appartenir aux trois segments I = [1 - r , 1 + r] , J = [a - r , a + r] et K = [V(1+a²) - r , V(1+a²) + r]

on vérifie assez facilement que si a < 1 alors J et K sont disjoints et si a > 1 alors I et K sont disjoints

on a donc nécessairemnt a = 1 soit p = -1 et dans ce cas I = J et K s'intersectent en  q = (V2 + 1)/2 .

condition suffisante :

une petite étude de la fonction  x ---> V(1 - x²) + x -(V2 + 1)/2 sur [0,1] confirme la convenance du couple trouvé dans la condition nécessaire   sauf erreur bien entendu

Bien vu Abdelali
Je continue la preuve par changement de variable:
On cherche p et q : sup{|V(1-x²)-px-q|: x de [0,1]}=< (V2-1)/2
mais sup{|V(1-x²)-px-q|: x de [0,1]}=sup{|cos(t)-p.sin(t)-q| : t de [0,pi/2]}
soit f(t)=cos(t)-p.sin(t)-q , t de [0,pi/2]}
f'(t)=-sin(t)-p.cos(t) s'annule en un unique to de [0,pi/2[ et tan(to)=-p ( alors p=<0 )
f(to)=cos(to)-p.sin(to)-q = cos(to)+tan(t0).sin(to)-q =(cos²(to)+sin²(to))/cos(to) - q
==> f(to)=1/cos(to) -q
or 1/cos²(to)=1+tan²(to)=1+p² et cos(t0)>0 ==> f(t0)=V(1+p²)-q et on a alors
sup{|cos(t)-p.sin(t)-q| : t de [0,pi/2]}=|V(1+p²)-q|=< (V2-1)/2

|f(0)|=|1-q|=< |V(1+p²)-q|
|f(pi/2)|=<| -p-q|=<|V(1+p²)-q|

==> p=-1 et q=(V2 +1)/2 ( voir solution d'Abdelali)

Bonne solution aussi abdelbaki !