polynôme2

Bonsoir, j'ai un autre exo compliqué:
P(x) = ax⁵ + bx⁴ + 1
trouver la valeur de a et b tel que : P(x) = (x-1)² Q(x)
                                               et Q(x) à trouver.


Merci d'avance

on sait que deg(P)*deg(Q)=deg(Q)+deg(P) donc Q(x) est un polynôme du troisième degré, alors tu poses Q(x)=px^3+qx^2+tx+f il te reste de résoudre un système

P(1)=P'(1)=0
<==> a+b+1=0 et 5a+4b=0

merci collègues
quel système il faux la seconde équation et on est au second donc pas de derivés

HADDOUCH a écrit:

merci collègues
quel système il faux la seconde équation et on est au second donc pas de derivés

P(1)=0 ==> a+b+1=0 ==>b=-a-1

P(x) = ax^5 + (-a-1)x^4 + 1
=ax^4(x-1)-x^4+1
=ax^4(x-1)-(x-1)(x+1)(x²+1)
=(x-1)(ax^4-x^3-x²-x-1)=(x-1)²Q(x)

<==>R(x)=ax^4-x^3-x²-x-1=(x-1)Q(x)

R(1)=0==>a-4=0 ==>a=4
==> R(x)=4x^4-x^3-x²-x-1=(x-1)(4x^3+3x²+2x+1)
==> Q(x)=4x^3+3x²+2x+1