Sup weirstrass

Bonsoir,

Soit f : [a, b] → R continue. Montrer que sup f ( dans l'intervalle a,b ouvert)= sup f(dans l'intervalle de a,b ferme).

Autre exo interessant

Soit f : [0, +∞[ → R continue ayant une limite l ∈ R(barre) en +∞. Montrer que f prend toute valeur comprise entre
f (0) et l (l exclu).

Grinta a écrit:

Bonsoir,

Soit f : [a, b] → R continue. Montrer que sup f ( dans l'intervalle a,b ouvert)= sup f(dans l'intervalle de a,b ferme).

On sait que pour tout partie A de R , sup A= sup adh(A) où adh(A)=l'adhérence de A
f(]a,b[) c f([a,b]) ==> Sup f(]a,b[) =<Sup f([a,b])
f continue ==> f([a,b]) c adh(f(]a,b[)) car f(adh(A)) c Adh(f(A)) qqs Ac[a,b]
==> Sup f([a,b])=<sup adh(f(]a,b[))=Sup f(]a,b[)
Donc Sup f(]a,b[) =Sup f([a,b])

Grinta a écrit:

Autre exo interessant

Soit f : [0, +∞[ → R continue ayant une limite l ∈ R(barre) en +∞. Montrer que f prend toute valeur comprise entre
f (0) et l (l exclu).

soit lim_(+00) f(x)=l <==> lim ( pi/2-)f( tan(t))=l

si l fini , l'application g(t)=f( tan(t)) définie sur [0,pi/2[ se prolonge par continuité au point pi/2 en posant g(pi/2)=l ==> par TVI, g([0,pi/2]) est un intervalle

si l est infini , lim ( pi/2-) arctan(f( tan(t))) = L est fini L= pi/2 ou -pi/2
l'application g(t)=arctan(f( tan(t))) sur [0,pi/2[ et g(pi/2)=L est continue
==> par TVI on a le résultat