Suites sous additives

Soit (u_n) une suite positif vérifiant pout tout n,m∈ IN
U_n+m =< u_n + u_m

1 Montrer que l=inf{u_n/n ;n∈ IN*} ∈ IR
2 Soit ε > 0
a_ Montrer qu'il existe N ∈ IN tel que u_N/N =< l+ε/2
b_ Monter qu'il existe a∈ IR tel que pour tt n>=N on a : u_n/n =<l+ε/2+a/n
3 En déduire que U_n/n --> l




( veuillez accepter cette modeste participation dans le forum ) Amicalement charaf_X

1. {Un/n ; n£IN*}C IR et non vide  minoré par 0 donc elle admet une borne inf.

2. d'après 1: qlq soit eps>0 il existe U_N/N £{Un/n ; n£IN*} tel que inf{Un/n ; n£IN*}+eps>U_N/N

l+eps/2>=U_N/N

la suite (Un/n) et majoré par l+eps/2 à partir d'un certain rang N.

b.  Un<=Un+U0  ===> Un/n<=Un/n+U0/n ==> Un/n<= l+eps/2+U0/n.

3. conclure n------>+infinie