exercice difficile

j'arrive pas à résoudre cet exercice .. ça fait 2 semaines que je cherche la solution   
soit a et b et c strictement positif
démontrez que
√(2a)⁄√(a+b) +√(2b)⁄√(b+c) + √(2c)⁄√(a+c)≤3

réponse:
on sait que la moyenne quadratique est supérieur ou égale la moyenne arithmétique alors:

alors il suffit maintenant de prouver que

par symétrie de rôle on suppose que 
avec l'inégalité de réordonnement on aura

et

en ajoutant les deux inégalité on aura

alors

merci pour votre réponse
mais normalement je pense on doit d'abord démontrer la première inéquation

j'ai pas écrit toutes les simplifications, mais juste les résultats parce que cela prend du temps d'une part, d'autre part c'est évident.
P.S elle ne s'appelle pas inéquation c'est inégalité on cherche pas un inconnu

ok merci   donc je vais essayer de la refaire

L-W-P a écrit:

par symétrie de rôle on suppose que 
On aura:

Cela est clairement faux, si on prend et .
L'inégalité que tu as écrit devient: , soit ou encore .
Et cela contredit ce que tu as supposé.

Proposition , on pose x=b\a , y=c\b , z=a\c ;  on utilise l'estimation suivante ,
rac(u)+rac(v) =< rac(2(u+v)}  facile a prouvé en élévant au carré ou bien c'est simplement caushy swarsh pour les connaisseur ,  l'inégalité est equivalente apres le changemente de variable a :
\sum 1\rac(1+x)  =< 3\rac(2) ,
parmis les produites  xy , yz , xz  il existe au moin un inférieur a 1 , sans perdre de généralité on peut supposé xy =< 1 . d'apres l'estimation on  a :

en utilise le lemme suivant maintenant , facile a prouver aussi  par simple calcule , pour u , v positif tel que uv =< 1 on a :
1\1+u² + 1\1+v² =< 2\1+uv  . il vient donc en l'appliquant au membre droit de l'estimation que :
 comme xy=1\z , en posant  z=m² il suffit de prouver que ,
, ce qui est vrai je te laisse faire les calcules , bonne chance .