Extremum

Bonjour tout le monde, voila je bugg sur un exo depuis hier ! Merci de bien vouloir m'aider !
1/ Montrer que la fonction f(x,y)=(x²+y²)^x est prolongeable en une fonction continue sur R² => ça je l'ai montrer
2/ Etudier l'existence des dérivées partielles d'orde 1 de f (je l'ai fait)
3/ Determiner les points critiques (j'ai trouvé (0,0) ,(0,1), (0,-1),(racine(exp(-2),0), (-racine (exp(-2),0), mais je pense que j'ai du me tromper, vu la prochaine question où je galère)
4/a) Montrer que f n'admet pas d'extremum local en (0,0); on pourra étudier h(x)=f(x,0)-1
b) Montrer que f admet un min local en (exp(-1),0)
c) Montrer que f n'admet pas d'extrem local en (0,1)


Merci de votre aide

f(x,y)=(x²+y²)^x est définie pour (x,y)#(0,0).
||(x,y)||²=x²+y²>0
f(x,y)=exp(2x ln(||(x,y)||))=exp(2x/||(x,y)||.||(x,y)||ln(||(x,y)||))
lim_{(x,y)-->(0,0)}||(x,y)||ln(||(x,y)|| =0  et  |x/||(x,y)|| |=<1 ==> lim_{(x,y)-->(0,0)}f(x,y)=1

f(x,y)=exp(x ln(x²+y²))
soit (x,y)#(0,0) ,
df/dx (x,y)= ( ln(x²+y²)+2x²/(x²+y²)).f(x,y)
df/dy (x,y)=2xy/(x²+y²). f(x,y)

[f(x,0)-f(0,0)]/x=[exp(2x ln(|x|))-1]/x ~ 2 ln(|x|)  quand x-->0
==> df/dx (0,0) n'existe pas
[f(0,0)-f(0,y)]/y=0 ==> df/dy (0,0) existe et il faut 0
Donc f n'est pas différentielle en (0,0) ==> (0,0) n'est pas critique
==> n'admet pas d'extremum local en (0,0)

soit (x,y)#(0,0) :

df/dx (x,y)=( ln(x²+y²)+2x²/(x²+y²)).f(x,y)=0
df/dy (x,y)= 2xy/(x²+y²). f(x,y)=0

<==> ln(x²+y²)+2x²/(x²+y²)=0 et xy=0
si x=0, alors y#0 et  ln(|y|)=0 ==> y=1 ou y=-1
si y=0, alors x#0 et ln(|x|)+1=0 ==> x=1/e ou x=-1/e

Donc les points critiques sont : (0,1); (0,-1); (1/e,0) et (-1/e,0)

en (-1/e,0) étudier la hessienne de f,   il faut montrer qu'elle est définie >0
d²f/dx² (-1/e,0) = lim_{h-->0} [df/dx(h-1/e,0)-df/dx(-1/e,0)]/h
......

en (0,1)  , f(0,1)= 1
pour tout n>2,
f(-1/n, 1+1/n)=(1+2/n²+2/n)^(-1/n)<1
f(1/n, 1+1/n)=(1+2/n²+2/n)^(1/n)>1
==> dans n’importe quel voisinage de (0,1) , f prend des valeurs >1 et <1
car les suites considérées  ---> (0,1)
==> f n'admet pas d’extremum local en (0,1)