Alg

salam

1** soit deux matrices A et B de MnR congruente dans MnC est ce qu'elle sont congruente dans MnR

2** montrer que le spectre d'un endomorphisme nilpotent est (0) (sans user poly minimal ou caractéristique)

3** A matrice complexe inversible et A^2 diagonalisable montrer que A est diagonalisable
(peut on généraliser si A^P est diagonalisable)


Merci

1- oui, decomposer A et B en symetrique et antisymetrique et identifier et raisonner sur la forme quadratique.
2-si u nilpotent et a dans le spectre complexe de u il existe x non nul tq u(x)=ax u^n=0 donc a^nx=0 donc a=0
3-soit p polynome minimal de A^p= produit(X-a_i,i=1...q) ai 2 a 2 distinct et diff de 0 donc produit(A^p-a_i*I)=0 donc H=produit(A_i-riI)=0 r_i etant les racine p-ieme des a_i les ri sont different car les a_i le sont et sont diff de 0 donc H est scinde a racine simple A diagonalisable .