Pour le premier : n est pair, posons p=n/2
<==> (m²-p)(p+m²+1)=m-1. Si m²-p=0 alors m=p=1, sinon m²-p ainsi que p+m²+1 divisent m-1. Et il est facile de conclure que la seule solution est le couple (n,m)=(2,1)
Pour le deuxième soit utiliser AM-GM sur x1-x2 , x2-x3 et x3-x4 en supposant avant que x1>x2>x3>x4. Le produit de ces trois derniers est donc inférieur à 1/27 puis choisir quelques valeurs qui donnent K>4/243, soit prendre x1=1 et x4=0 et déterminer le maximum de la fonction à deux variables sur [0,1] . Après quelques calculs on trouve max=sqrt(5)/125 qui est bien compris entre 1/27 et 4/243.
Pour le troisième
La fonction demandée est f(x)=x+1/x si x est différent de 0 et f(0)=0 sinon.
Pour le quatrième
Par une chasse d'angle, il suffit par étapes de prouver que <CFI = <CJI
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