inegalite unique !!

x,y,z et t des reels appartenant a |N tels que 1<x<y<z<t . MONTREZ QUE
1/(xyzt) +1/x+1/y+1/z+1/t =< 31/24
J'ajoute une autre :
a,b,c et d de |N et plus grands que 2
Montrez que ;
V[(1-1/a^2)(1-1/b^2)(1-1/c^2)(1-1/d^2)] >=V2/2
Bonne chance et surtout, n'hesitez pas !!!!

Euh...Pour la première

On a la contrainte posée qui équivaut à x >= 2, y>=3...t>=5 <=> 1/xyzt <= 1/120

et 1/x<= 1/2 de même jusqu'à 1/t<=1/5

En sommant le tout on arrive à 31/24....la valeur recherchée

Pour la deuxième inégalité,voici ma proposition:
√(1-1/a^2 ) √(1-1/b^2 ) √(1-1/c^2 ) √(1-1/d^2 )≥√2/2

↔(1-1/a^2 )(1-1/b^2 )(1-1/c^2 )(1-1/d^2 )≥1/2

↔2(a^2 b^2-a^2-b^2+1)(c^2 d^2-c^2-d^2+1)≥a^2 b^2 c^2 d^2

↔ a^2b^2 c^2 d^2+2(a^2 b^2+b^2 c^2+c^2 d^2+d^2 a^2+a^2 c^2+b^2 d^2-a^2-b^2-c^2-d^2+1)≥0

↔ a^2 b^2 c^2 d^2+2(a^2 (b^2-1)+b^2 (c^2-1)+c^2 (d^2-1)+d^2 (a^2-1)+1)≥0

expression logiquement vraie, car on a {a;b;c;d}∈ (IN∩[2;+∞[)^4, donc (b^2-1);(c^2-1);(d^2-1)et(d^2-1)  sont positifs, et par suite a^2 b^2 c^2 d^2 +2(a^2 (b^2-1)+b^2 (c^2-1)+c^2 (d^2-1)+d^2 (a^2-1)+1)≥0,

donc √(1-1/a^2 ) √(1-1/b^2 ) √(1-1/c^2 ) √(1-1/d^2 )≥√2/2.

Je m'excuse pour cette présentation de mauvaise qualité, car je ne sais pas encore
utiliser les outils de cet éditeur (surtout son option pour introduire du code Latex),
de plus je n'ai pas encore le droit d'insérer des url, ce qui m'empêche d'insérer des
images.

Oui , c'est juste ; Pour la presentation , ne vous en faites pas c bien redige car le plus important est le contenu // tbarkellah alik...

Merci pour le compliment.

En retour voici un exercice d'échauffement que j'ai trouvé dans un livre d'inégalités (moi je préfère le terme d'néquations):

Soient a,b,c des réels positifs tel que a+b+c=3 . Montrer que √a+√b+√c≥ab+bc+ca .