jolie équation fonctionelle

déterminer toutes les fonctions f définies de lR vers lR qui vérifient:
(pour tout x et y £ lR): f(x.f(x+y))=f(y.f(x))+x²

P(x,y): f(x.f(x+y))=f(y.f(x))+x²
P(0,y): f(0)=f(yf(0))
si f(0)#0 ==> f cte, impossible ==> f(0)=0
P(x,0): f(x.f(x))=x² alors si f(x)=0 ==>x=0
P(-x,x): f(x.f(-x))=-x²
==> f surjective
si f(x)=f(y) et f(x)#0 sinon x=y=0
f(x.f(y))= f(xf(x+(y-x)))= f((y-x).f(x))+x²=f(xf(x))=x²
==> f((y-x).f(x))=0 ==> y=x. ==> f injective
f(-x.f(-x))=x²= f(x.f(x))==> -xf(-x)=xf(x) ==> f(-x)=-f(x) impaire

f(x)=-x est aussi une solution.

Bonsoir,
C'est une équation fonctionnelle assez classique, elle a été traitée, sur le forum seulement, à maintes reprises. Vous pourrez la trouver, si je me rappelle bien, parmi les nombreuses EF du Marathon des équations fonctionnelles.
Il faudra noter que f(0)=0, que f est bijective, que f est impaire et enfin que xf(y)=yf(x) après quelques manipulations. Ceci nous permet de conclure que f(x)=ax( a=f(1) ) puis en substituant que |a|=1