Classique mais utile

Monter que :

1) Sin(A/2)sin(B/2)Sin(C/2)=<1/8

2) cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) =< (3rac(3))/8

3) tan²(A/2)+tan²(B/2)+tan²(C/2)>=1

je crois que vous etes capable de résourdre sans utilisation de l'ing jensen or .. drunken

La première : (les deux autres peuvent etre gérées de la même manière Very Happy

$Classique mais utile Gif.latex?sin%28%5Cfrac%7BA%7D%7B2%7D%29.sin%28%5Cfrac%7BB%7D%7B2%7D%29.sin%28%5Cfrac%7BC%7D%7B2%7D%29%5Cleq%20%28%5Cfrac%7Bsin%28%5Cfrac%7BA%7D%7B2%7D%29+sin%28%5Cfrac%7BB%7D%20%7B2%7D%29+sin%28%5Cfrac%7BC%7D%7B2%7D%29%7D%7B3%7D%29%5E3%20%5C%5C%20%3D%3E%20il%5C%20suffit%5C%20de%5C%20montrer%5C%20que%3A%20%5Csum%20sin%28%5Cfrac%7BA%7D%7B2%7D%29%5Cleq%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20ou%5C%20encore%3A%20%5Csum%20cos%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7BA%7D%7B2%7D%29%5Cleq%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20En%5C%20posant%5C%20A%27%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7BA%7D%7B2%7D%5C%20et%20%5C%20B%27%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7BB%7D%7B2%7D%5C%20et%20%5C%20C%27%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7BC%7D%7B2%7D%2C%5C%20qui%5C%20sont%5C%20egalement%5C%20des%5C%20angles%5C%20de%20%5C%20triangle$
Fiou, C'était long ^^

execlente démarche bravo ^^

voici un autre
SinA/2 * SinB/2 * Sin C/2 <= 1/8
<=> 4sin²(A/2)*4sin²(B/2)*4sin²(C/2)<1
on remarque que : a²=b²+c²-2bc.cosA (alkaxi)
alors cosA=(b²+c²-a²)/2bc
on a 4sin²(A/2)=2-2cosA=[a²-(b-c)²]/bc
alors il faux démontrer que :
[a²-(b-c)²]/bc*[b²-(a-c)²]/ac*[c²-(b-a)²]/ab < 1
<=>
[a²-(b-c)²]*[b²-(a-c)²]*[c²-(b-a)²] < a²b²c²
Ce qui est juste (on a² -(b-c)²<a² )

Sujet: Re: Classique mais utile Dim 02 Mar 2014, 22:50

P.Coelho a écrit:: voici un autre
SinA/2 * SinB/2 * Sin C/2 <= 1/8
<=> 4sin²(A/2)*4sin²(B/2)*4sin²(C/2)<1
on remarque que : a²=b²+c²-2bc.cosA (alkaxi)
alors cosA=(b²+c²-a²)/2bc
on a 4sin²(A/2)=2-2cosA=[a²-(b-c)²]/bc
alors il faux démontrer que :
[a²-(b-c)²]/bc*[b²-(a-c)²]/ac*[c²-(b-a)²]/ab < 1
<=>
[a²-(b-c)²]*[b²-(a-c)²]*[c²-(b-a)²] < a²b²c²
Ce qui est juste (on a² -(b-c)²<a² )

attention
1- il n y a pas d'équivalence
2- t'a démontrer juste 4sin²(A/2)*4sin²(B/2)*4sin²(C/2)<1 cela ne va pas dire que
SinA/2 * SinB/2 * Sin C/2 <= 1/8