Joliii

Sujet: Joliii Dim 02 Mar 2014, 11:58

Trouver tous les entiers n tels que 2^(n-1) divise n!

Sujet: Re: Joliii Dim 02 Mar 2014, 12:34

on a clairementt

Spoiler:

Sujet: Re: Joliii Dim 02 Mar 2014, 12:35

Il nous faut montrer que les puissances deux sont les seules solutions. Dans un premier temps, on va montrer qu'elle le satisfaissent vraiment puis, on démontrera qu'elle sont les seules. J'userai dans ma démo le théo. de Legendre:
$Joliii Gif.latex?si%5C%20n%3D2%5Ek%2C%20alors%5C%202%5E%7Bn-1%7D%7Cn%21%20%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%20n-1%5Cleq%20%5B%5Cfrac%7B2%5Ek%7D%7B2%7D%5D+%5B%5Cfrac%7B2%5Ek%7D%7B4%7D%5D+%5B%5Cfrac%7B2%5Ek%7D%7B8%7D%5D+...+%5B%5Cfrac%7B2%5Ek%7D%7B2%5Ek%7D%5D%20%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%202%5Ek-1%5Cleq%202%5E%7Bk-1%7D+2%5E%7Bk-2%7D+2%5E%7Bk-3%7D+.$
$Joliii Gif.latex?si%5C%20mtn%5C%202%5Ek%3Cn%3C2%5E%7Bk+1%7D%5C%20%5CLeftrightarrow%20n%3D2%5Ek+p%5C%20avec%5C%200%3Cp%3C2%5E%7Bk+1%7D-2%5Ek%20%5C%5C%20on%5C%20va%5C%20montrer%5C%20que%5C%20n-1%5Cgeq%20%5Csum_%7Br%5Cgeq%201%7D%5B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%5Er%7D%5D%20%5C%5C%20%5Csum_%7Br%5Cgeq%201%7D%5B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%5Er%7D%5D%3D%5B%5Cfrac%7B2%5Ek+p%7D%7B2%7D%5D+%5B%5Cfrac%7B2%5Ek+p%7D%7B4%7D%5D+%5B%5Cfrac%7B2%5Ek+p%7D%7B8%7D%5D+...+%5B%5Cfrac%7B2%5Ek+p%7D%7B2%5Ek%7D%5D+0+0+...%20%5C%5C%20%5C%20%3D2%5Ek-1+%5B%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%5D+%5B%5Cfrac%7Bp%7D%7B4%7D%5D+%5B%5Cfrac%7Bp%7D%7B8%7D%5D+...+%5B%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%5Ek%7D%5D%20%5C%5C%20%5Cleq%202%5Ek-1+%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7Bp%7D%7B4%7D+..$
d'ou 2^{n-1} ne peut diviser n! si n n'est pas une puissance de 2

Conclusion: S={2^k /kCN*}