x^y +y^x

Bonsoir ,
x et y des réels positifs .
montrez que
x^y+y^x>1
Amicalement.   

J'ai bien aimé cet exercice qui m'a fait faire des recherches durant deux jours, je vous en remercie beaucoup.

On considère WLog x>y donc x=y+k (k de R+)
Donc il faut montrer (f)
On a
Donc f est croissante, il s'en suit que:
Et donc :

Une autre solution pour le plaisir:

Cas n° 1: x ou y >= 1
Démarche similaire à celle explicité dans ma solution sus mentionnée.

Cas n° 2: x,y<1

par l'inégalité de Bernoulli, nous avons :
x^y = [1 + (x-1)]^y >= 1 + y(x-1) => x^y + y -1 >= xy ,
de même on a:
y^x + x - 1 >= xy ,

donc on a x^y + y^x + x + y - 2 >= 2xy
équi x^y + y^x>= 2xy - x - y + 2 =(xy - x - y + 1) + xy + 1 = (1 - x)(1 - y) + xy + 1 > 1
donc , x^y + y^x > 1 .

Donc quelque soient x et y des réels positifs, on a : x^y + y^x > 1 .

Une remarque: j'ai utilisé principalement du "vert" dans ma première solution en l'honneur à M. Bianco_Verde qui veut dire peut-être "Blanc et Vert".

Merci.

Hhh MERCI     

Je crois que la solution de MR. Elidrissi est fausse vu que l'inégalité de BERNOULLI est employée d'une maaniere incorrecte.

en effet, je crois qu elle est a l envers
mais ce nest pas ma solution. je l ai trouvée dans le livre de Cvetkovski Z.

Pouvez vous nous donner le lien du livre en format pdf ?? ^^

Je n'ai plus le lien, je m en excuse. mais le nom est :
inequalities theorems techniques and selected problems springer 2012

naïl a écrit:

: حيث إن

، (1+x)^r > 1+r.x
x> -1 و r>1لكل

: فإنَّ

، (1-x)^(1/r) > 1-x/r
0<r<1 و x<1لكل

:أي

،[(1-x)^(1/r)]^r > (1-x/r)^r
1-x> (1-x/r)^r : يعني

x<=r لكن يجب لصحة المتفاوتة الأخيرة أن يكون الطرف الأدنى موجبا أي
.x عوض x*r و للحصول على المتفاوتة المبتغاة يجب  وضع
https://mathsmaroc.jeun.fr/f26-theoremes-et-formules انظر قسم القواعد و المتطابقات