EF

trouver les fonctions de R vers R telles que : 5f(-x)+f(1-x)=2x

5f(-x)+f(1-x)=2x

soit n=E[x]

5f(x-n)+f(x-n+1)=2(n-x)
5f(x-n+1)+f(x-n+2)=2(n-1-x)  multiplié par -1/5
5f(x-n+2)+f(x-n+3)=2(n-2-x)   multiplié par  (-1/5)²
5f(x-n+3)+f(x-n+4)=2(n-3-x)   multiplié par (-1/5)^3
....
5f(x-2)+f(x-1)=2(2-x)             multiplié par (-1/5)^(n-2)
5f(x-1)+f(x)=2(1-x)                multiplié par (-1/5)^(n-1)
__________________________________________________
5f(x-n)+(-1/5)^(n-1) f(x)= 2 somme( k=1 à n) (k-x) (-1/5)^(n-k)

Il suffit de connaitre f sur [0,1[

Bonjour M. Abdelbaki_attioui, j'ai eu l'honneur de lire le début de votre solution édité ci-haut: elle est originale et astucieuse, j'espère que vous l'achèveriez très bientôt.
Je vous invite aussi à jeter un coup d’œil sur la page de M. Mat9aich sous l'intitulé "Défi": c'est la même équation mais abordée de manières différentes.
J'ai aussi invité M. Mat9aich à visiter votre page en espérant que cela sera instructif pour les visiteurs des deux pages.
Ma contribution à trouver une solution à ce problème, et dans le but d'avoir l'occasion de l'achever, je l'ai édité sur l'autre page, et je la réédite ici.
Merci.

Bonsoir,
le début de solution que j'ai édité ci-haut, contient une erreur, chose dont je m'en excuse, car cette page avec la présence d'une personnalité de votre niveau et de votre notoriété, méritait mieux que ce travail bâclé comme si il était fait à la hâte: Dieu m'est témoin, j'ai essayé de présenter un travail à la hauteur, mais j'étais induit en erreur par la personne qui a postée l'équation en question.

l'erreur provient du fait que j'ai présumé qu'une solution évidente que j'ai trouvée, comme unique, mais en réalité, elle ne l'est guère (voir ci-dessous):

M. Abdelbaki_Attioui, pour compléter ma solution sus éditée, je réédite ici ma réponse au défi de M. Mat9aich.

Bonjour M. Mat9aich;
chose promise chose due, voici trois propositions de solutions de l'équation fonctionnelle sus mentionnée:
La première est l’œuvre de notre Administrateur M. Abdelbaki_Attioui qu'il a éditée sur la page du site "EF" et que je rééditerai ici à la fin comme "Misk Al Khitam".

La deuxième est l’œuvre de grands experts qui s'activaient sur "MathsMaroc" durant l'année 2009, et que j'ai trouvée sur la troisième page du lien suivant: https://mathsmaroc.jeun.fr/t12874p30-fonctions et qui même si elle n'est pas générale, elle couvre une grande partie de l'ensemble des solutions. Elle est comme suit:
f(x)=[a.(-5)^{(E(x) + k(x-E(x))} + b.(-5)^{(x + k(x-E(x))}]*k(x-E(x)) + (-x/3 + 1/18)
avec k une fonction quelconque, et (a;b in IR) .


La troisième est l’œuvre d'un grand professeur de Mathématiques, qui est pour moi "Un Grand Mathématicien": dommage que je ne connaisse de lui que le pseudonyme et le site sur lequel il s'active. Le lien de la page où j'ai trouvé sa solution est le suivant: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,904295,904328 . Sa solution est la suivante:

Je note la solution que tu as trouvée ( f0(x)=-x/3 +1/18).

Toute autre solution satisfait, pour tout nombre réel :


donc la fonction satisfait, pour tout nombre réel :



Ton problème est alors de déterminer le noyau de l'application linéaire :


avec une notation d'une pédanterie grotesque.
Ce noyau contient beaucoup de fonctions... puisque la relation :


te permet, par translations successives, de déterminer les valeurs de sur à partir des valeurs sur , et que, sur cet intervalle, peut être n'importe quoi.

En ce qui concerne la solution de M. Abdelbaki_Attioui, sa solution est comme suit:

5f(-x)+f(1-x)=2x

soit n=E[x]

5f(x-n)+f(x-n+1)=2(n-x)
5f(x-n+1)+f(x-n+2)=2(n-1-x)  multiplié par -1/5
5f(x-n+2)+f(x-n+3)=2(n-2-x)   multiplié par  (-1/5)²
5f(x-n+3)+f(x-n+4)=2(n-3-x)   multiplié par (-1/5)^3
....
5f(x-2)+f(x-1)=2(2-x)             multiplié par (-1/5)^(n-2)
5f(x-1)+f(x)=2(1-x)                multiplié par (-1/5)^(n-1)
__________________________________________________
5f(x-n)+(-1/5)^(n-1) f(x)= 2 somme( k=1 à n) (k-x) (-1/5)^(n-k)

Il suffit de connaitre f sur [0,1[

Je cois que j'ai tenu ma parole.

A la prochaine