Vous pouvez supposer l'existence, et prendre R(X)=P(X)-X, alors S(X)=R(X)²-R(X) s'annule en 1+sqrt(a) et 3+sqrt(b), donc forcément s'annule en leurs conjugués 1-sqrt(a) et 3-sqrt(b), du coup X²-6X+b-9 et X²-2X+a-1 divisent S, et par le fait que R et R-1 sont premier entre eux, et le fait que 3+sqrt(b) racine de R et 1+sqrt(a) racine de R-1, on a X²-6X+b-9 divise R et X²-2X+a-1 divise R-1, donc R(X)=Q(X)(X²-6X+b-9) et R(X)-1=K(X)(X²-6X+b-9) . Regardons maintenant ces deux formules dans le corps Z/2Z, alors R~(X)=Q~(X)X² et R~(X)-1=K~(X)X² dans Z/2Z[X] où P~ la classe de P dans Z/2Z[X], donc Q~(X)X²-1=K~(X)X², ce qui est absurde.
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