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2 participants
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alidos
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alidos


Masculin Nombre de messages : 352
Age : 27
Localisation : Goulmima
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MessageSujet: Own   Own EmptyJeu 10 Avr 2014, 15:50

Soient a,b deux entiers impairs sans être des carrés parfaits , Montrez qu'il n'existe aucun Polynôme P £ Z[X]
tels que :

P(1+sqrt(a))=2+sqrt(a) et P(3+sqrt(b))=3+sqrt(b)

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kalm
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kalm


Nombre de messages : 1101
Localisation : khiam 2
Date d'inscription : 26/05/2006

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MessageSujet: Re: Own   Own EmptyMar 15 Avr 2014, 21:48

Vous pouvez supposer l'existence, et prendre R(X)=P(X)-X, alors S(X)=R(X)²-R(X) s'annule en 1+sqrt(a) et 3+sqrt(b), donc forcément s'annule en leurs conjugués 1-sqrt(a) et 3-sqrt(b), du coup X²-6X+b-9 et X²-2X+a-1 divisent S, et par le fait que R et R-1 sont premier entre eux, et le fait que 3+sqrt(b) racine de R et 1+sqrt(a) racine de R-1, on a X²-6X+b-9 divise R et X²-2X+a-1 divise R-1, donc R(X)=Q(X)(X²-6X+b-9) et R(X)-1=K(X)(X²-6X+b-9) . Regardons maintenant ces deux formules dans le corps Z/2Z, alors R~(X)=Q~(X)X² et R~(X)-1=K~(X)X² dans Z/2Z[X] où P~ la classe de P dans Z/2Z[X], donc Q~(X)X²-1=K~(X)X², ce qui est absurde.
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alidos
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alidos


Masculin Nombre de messages : 352
Age : 27
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MessageSujet: Re: Own   Own EmptyVen 18 Avr 2014, 13:58

Bravo Mr Kalm Smile
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