14-th Macedonian Mathematical Olympiad 2007

Trouvez toutes les fonctions f:R---R tels que f(x^3+y^3) = x²f(x)+yf(y²).
Bonne chance.

bianco verde a écrit:

Trouvez toutes les fonctions  f:R---R  tels que      f(x^3+y^3) =  x²f(x)+yf(y²).
Bonne chance.

x=y=0 => f(0)=0

y=0 => f(x^3)=x²f(x)

x=0,y=x => f(x^3)=xf(x²)

alors f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(x^3) donc f(a+b)=f(a)+f(b) pour tt a,b£R

d'où f(x)=cx pour tt c£R

réciproquement cette résultas est vraie.

elmrini a écrit:

bianco verde a écrit:

Trouvez toutes les fonctions  f:R---R  tels que      f(x^3+y^3) =  x²f(x)+yf(y²).
Bonne chance.

x=y=0 => f(0)=0

y=0 => f(x^3)=x²f(x)

x=0,y=x => f(x^3)=xf(x²)

alors f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(x^3) donc f(a+b)=f(a)+f(b) pour tt a,b£R

d'où f(x)=cx pour tt c£R

réciproquement cette résultas est vraie.

f doit être continue ou monotone pour pouvoir conclure :p

Voici ma solution :
P(x,y) :    f(x^3+y^3) =  x²f(x)+yf(y²)
P(x,0): f(x^3)=x^2f(x)
P(0,y): f(y^3)=yf(y^2)
D'ou f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3) .... Eq. De Caushy je crois qu'on peut conclure que f(x)=cx avec c £ R.

Bah , f :R-->R et rien sur lz continuité de f ni sur sa monotonie , impossble de conclure

legend crush a raison impossible de conclure au moins essayer de prouver que la fonction est continue à 0.(chose pas valable, je crois)

Servez-vous : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=150112 (voir la soluc de PCO)

ici la solution est juste parce que il est obligatoire de mentionner que f(1)=a