soit (fn) n dans N la suite de fonctions telle que pour tout x dans [0,1] :
f0(x)=0 et kelke soit n dans N : fn+1(x)=fn(x) + 1/2 *[x - (fn(x))^2]
a) montrer que (fn) n dans N est une suite de fonctions polynomes .
b) montrer (fn) n dans N converge uniformément sur [0,1] vers la fonction x->(x)^1/2 .
c) en deduire que lma fonction x-> abs(x) est limite uniforme sur tout segment de R d'une suite de fonctions polynomes .
d) deduire une demonstration du théoréme de Weierstrass pour les fonctions réelles , puis pour les fonctions complexes , définies et continues sur un segment .
N.B: c'est le theoreme d'approximation de Weierstarss.Ind:(le sev des fonctions polynomiales est dense dans le evn des fonctions continues sur un segment ).
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