1) 1. Vrai 2. Faux 3. Faux 4. Faux
2) x²-y²=12 et x=2y>0 ==> y²=4 et y>0==>y=2 et x=4 ==> S={(4,2)}
3) 2b=a+c et a+b+c=9 ==>b=3 ==> a+c=6 ==> a^3+(6-a)^3= 126 ==> a²-6a+5=0
==> a=1 ou a=5 ==> S={(1,3,5); (5,3,1)}
4) pi >2 ==> S= l'ensemble vide
5) z= 41+i 21
6) n= 2^(2^2)=16
7) A_n=sum_{i=0}^{n}[ sum_{j=0}^{j=i} i + sum_{j=0}^{j=n} j - sum_{j=0}^{j=i} j ]
==> A_n= sum_{i=0}^{n}[ i² + n(n+1)/2- i(i+1)/2]
==> A_n =sum_{i=0}^{n} i²/2 + n²(n+1)/2- sum_{i=0}^{n}i/2=...
B_n=Prod_{k=3}^{n} (k+1)(k-1)/(k+3)(k-2) = (n+1)!/3! . (n-1)!/2! / (n+3)!/5!.(n-2)!
==> B_n = 10 (n-1) / (n+3)(n+2)
9) B=M0 ==> AMn = AM0+M0M1+M1M2+...+M(n-1)Mn=a-a/2+a/2²+...+a(-1/2)^n=a (2+(-1/2)^n)/3
10) x dans Df <==> x>=1 , 10-x-6 V(x-1)>=0 et 5-x-4V(x-1)>=0
t=V(x-1) ==> t²+1=x ==> t²+6t=<9 et t²+4t=<4
(t+3)²=<18 et (t+2)²=<8 ==> t=<3V2-3 et t=<2V2-2 <3V2-3
==> x dans Df <==> x>=1 , et V(x-1)=<2V2-2 <==> 1=< x=<13-4V2
11) Les constantes car qqs x , nT=<x<(n+1)T ==> f(x)=f(T)
12) g(f(x))= 2f(x)+1 si f(x)=<3 et g(f(x))= f(x) si f(x)>3
Mais f(x)=<3 <==> x=0 ou -V3=<x<0 et f(x)>3 <==> x>0 ou x<-V3
===> g(f(0))=g(3)=7 , si -V3=<x<0 g(f(x))=g(x²)=2x²+1 , si x>0 g(f(x))=g(x+3)=x+3,
si x<-V3 g(f(x))=g(x²)=x²
13) Tracer f(x)= x(2x-1) ou tracer f(x)=0 si 0=<x=<1/2 et f(x)= 2x-1 si 1/2=<x=<1
14) en 0+, (sinx+tanx)/x= sinx/x (1+1/cos x) ==> L =2
15) Si P''=0 alors P=0 et si P'' non nul, d=deg(P)=deg(P')+deg(P'') = 2d-3 ==> d=3
P(t)= at^3+bt^2+ct+d et a#0 ==> 8at^3+4bt^2+2ct+d=( 3at^2+2bt+c)(6at+2b)
==> 8a=18a² , 4b=18ab , 2c=4b²+6ac , d=2bc ==> a=4/9 , b=c=d=0 ==> S={ 0, 4/9 t^3}
16) F'(x)= (1+ x/V(1+x²)) / (x+ V(1+x²)) = 1/V(1+x²)
17) g'(1)= g'(f(0))=1/f'(0) et f'(x)= (2 V(x²+x+1)-(2x+1)²/2 V(x²+x+1) )/(x²+x+1) ==> g'(1)=2/3
18) x<t<x+1 ==> 1/(x+1)< int_{x}^{x+1} dt/t < 1/x ==> a=b=c=1 et d=0
19) int_{0}^{11} |(t-3)(t-2)| dt=int_{0}^{2} - int_{2}^{3}+int_{3}^{11}=....
20) Min (5-2y)²+y² = Min 25+5y²-20y=5
21) 6/8 m² de tissu par jour ==> 1tissu= 25² cm²=1/16 m² ==> Moy/j=6/8 .16=12
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