ipek
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 | | Sujet: lim Jeu 18 Sep 2014, 20:45 | |
| Lim [(1+x)(1+x^2).....(1+x^n)-2^n]/x-1 (x=>1) | |
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nmo
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| | Sujet: Re: lim Ven 19 Sep 2014, 14:18 | |
| - ipek a écrit:
- Lim [(1+x)(1+x^2).....(1+x^n)-2^n]/x-1 (x=>1)
Clairement, on doit avoir  un entier non nul. On considère la fonction  définie par: : f(x)=(1+x)(1+x^2)\cdots (1+x^n)) . On a (1+x^2)\cdots (1+x^n)-2^n}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)) . On a facilement: : f'(x)=(1+x^2)\cdots (1+x^n)+2x(1+x)(1+x^3)\cdots (1+x^n)+\cdots+nx^{n-1}(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{n-1})) . Donc =2^{n-1}+2\times2^{n-1}+\cdots+n\times 2^{n-1}=2^{n-1}(1+2+\cdots+n)) . Et finalement: (1+x^2)\cdots (1+x^n)-2^n}{x-1}=2^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}=2^{n-2}.n(n+1)) . Sauf erreurs. | |
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