exercice

bonjour
je vous propose cet exercice
(Fn)n£IN* une suite décroissante d'ensemble compactes et non vides de IR^p.
avec p£IN*
1) montrer que l'intersection de (Fn)n£IN* non vide
2) vérifier le résultat précédent est généralement faux si les Fn ne sont pas compactes.

2) Fn=]0,1/n] , n£IN* alors ∩Fn = ∅.

1) On pose E= IR^p. Si ∩Fn=∅, alors F1 c U E\Fn (n>1) recouvrement par des ouverts de F1
comme F1 est compact alors F1 c E\Fn1 U E\Fn2 U ....U E\Fnp
Donc F1 n Fn1 n Fn2 n....n Fnp=∅ donc Fm=∅ où m=sup{0,n1,n2,..,np} par décroissance des Fn ce qui est absurde donc ∩Fn # ∅