Probléme janvier 2015

Soit f une fonction décroissante de IR + dans IR+. telle que



Montrer qu'il existe a dans IR +   t.q.   f(a) = 0

Indication:

1) Montrer que f(x)--->0 quand x-->+00
2) Montrer l'existence d'une suite bornée strictement croissante (a_k)_k de IR+ telle que:
f(a_k)<1/2^k pour tout entier k
3) Conclure

il y a une erreur quelque part Mr Attioui , s'il existe a tel qeu f(a)=0 , comme f est positive et drecroissante il vient que pour tout x>a 0=<f(x)=<f(a)=0 => f(x)=0 pour tout x > a , donc (x-a)f(x)=0=f(a)² ce qui contredis x < a , (x-a) f(x) < f(a)²

Bonjour,



J'espère qu'il y a un peu de logique mathématique dans ce que j'ai avancé.
Un grand "Merci" à M. Abdelbaki et M. Oty.

Amicalement.

aymanemaysae , ton dernier passage est faux , a part si tu montre que le ''k'' est indépendant d'epsilon

Bonjour;

vous avez raison M. Oty.
Pour éluder cette pierre d'achoppement, j'ai essayé de passer par les suites adjacentes mais je ne suis arrivé nul part.

Une indication de votre part ou de M. Abdelbaki serait la bien venue.

Amicalement.

on attend que Mr Abdelbaki rectifie le probleme avant d'essayer de le resoudre , a part si tu es sur que tu as effectuer la bonne rectification

On supposant que t'as rectification est correcte voici ma solution , c'est pas trop difficile comme exo finalement ,
tendre n vers + l'infini permet de conclure

Bonjour,

Un grand "Merci" pour vous M.Oty, votre solution est très astucieuse, Bravo.

Amicalement.

Soit f une fonction décroissante de IR + dans IR+. telle que  x < y ===> (y-x) f(y) =< f(x)²
1) f(y)--->0 quand y-->+00
f décroissante minorée alors  la limite de f(y) quand y-->+00 existe notée L . On a L>=0
Mais pour y>0,  f(y) =< f(0)²/y alors quand y-->+00,  L =<0  . Donc L=0

2) L'existence d'une suite bornée strictement croissante (a_k)_k de IR+ telle que:
f(a_k)<1/2^k pour tout entier k

lim(x-->+oo) f(x)=0  ==> il existe a_0 :  f(a_0)<1

On pose :   Pour k >= 0,   a_{k+1}=a_k+1/2^{k-1}, suite strictement croissante de IR+
et convergente par télescopage  de limite a>=0.  Par récurrence sur k, on a:
1/2^{k-1}f(a_{k+1}) =(a_{k+1} -  a_k)  f(a_{k+1}) =< f(a_k)²< 1/2^{2k}
==> f(a_{k+1})<1/2^{k+1}

Donc, f(a_k) <1/2^k    qqs k  ==> f(a)=0

Oty a écrit:

il y a une erreur quelque part Mr Attioui , s'il existe a tel qeu f(a)=0 , comme f est positive et drecroissante il vient que pour tout  x>a  0=<f(x)=<f(a)=0 => f(x)=0  pour tout x > a , donc (x-a)f(x)=0=f(a)² ce qui contredis  x < a , (x-a) f(x) < f(a)²

Effectivement, il manquait un =
Bien vu Oty