lim lnx /x en +oo

Donner au moins trois preuve de lnx /x -->0 quand x-->+oo

BSR au Forum .
BSR Aymanmaysae .

Je passais par là ...
Je ne suis pas le correcteur de service mais je pourrais dire ce qui suit :

1ère Méthode : Tout à Fait Correcte , c'est très bien ...
" Pour tout x dans ]1;+00[ , il faut exclure la valeur 1 ....
2ème Méthode : La Règle de l' Hopital est Inopérante ICI
Revoir cette Règle et les conditions de son Application .
3ème Méthode : Tu donnes une preuve en admettant la 1ère limite
en faisant un changement de variable ...

Je Garde la 1ère Méthode , Juste à tous les points de vue .

Amicalement . LHASSANE

abdelbaki.attioui a écrit:

Donner au moins trois preuve de lnx /x -->0 quand  x-->+oo

J'aime bien contribuer avec cette preuve:
On définit la fonction sur [[ par .
On vérifie facilement que , donc est décroissante.
Or, on a donc est minorée.
Décroissante et minorée, admet donc une limite finie qu'on note .
On a , comme voulu.
Sauf erreurs.

Merci pour la remarque concernant la 1ère méthode.
Pour la deuxième méthode, j'ai toujours eu des problèmes avec la "Règle de l’Hôpital": j'ai essayé d'appliquer à la lettre le théorème ci-dessous, mais je crois que j'ai mal compris ce qu'il voulait dire:



Pour la troisième méthode, je vais essayer un autre chemin.
Merci et Bonsoir à tous.

étude de la fonction f(x)=ln(x)-sqrt(x-1) sur l'intervalle [1,+oo[ nous mènera au résultat voulu.
ou un changement de variable en posant x=e^x si on veut admettre la limite de (e^x)/x comme valable.
Concernant l 'application de la règle d'Hôpital, je vois pas la condition non vérifiée.

la règle de l'hopital concerne des limites en des points finis je pense ....

pour un usage plus sur de la règle de l'hopital on opère un changement de variable x=tan(u)

les fonctions satisfaisant les conditions de l'hopital. on peut dès lors deduire que :

BSR au Forum .
BSR Aymanemaysae

AUTANT POUR MOI !!!!
En effet , la Règle de l' Hospital ( 1ère Généralisation ) fonctionne .
Je n' ai jamais eu l' occasion de l' utiliser . Il faut se souvenir que cette Règle , même
dans sa version simple , n'est pas au programme du BAC Marocain SM .
Ta première méthode de l' encadrement ( Théorème des Gendarmes pour les Fonctions )
reste la MEILLEURE et la plus abordable même en BAC.....

Amicalement . LHASSANE

Bonsoir tout le monde,

Juste une précision, on ne peut pas appliquer la règle de l’hôpital pour cette limite car les contions soulignées ci-dessous ne sont pas vérifiés ( le début de cette proposition pourrait choquer certains,je m'en excuse):
"Soit a réel ou égal à ±∞, tel que les fonctions réelles f et g soient définies et dérivables « au voisinage » de a, la dérivée.." (wikipédia)

u -> ln(1/u) n'est pas définie au voisinage de "0" sauf si on l'étend par continuité mais ceci est une autre histoire.
Pour contribuer    pi(x) est le nombre "des nombres premiers inférieur a x"  clairement lim Pi(x) =+00 et cette formule permet de conclure

Code:

pi(x) ~ \frac{x}{ln(x)}

(c'est une blague .. )

J'espère avoir vos remarques sur ces deux propositions, en notant bien que la solution de l'exercice n° 2  n'est pas de mon œuvre.