calcul d'une suite

Féru Nombre de messages : 55 Age : 28 Date d'inscription : 04/09/2011

soit (Yn) et (Xn) deux suites tq:
Yn+1=(h+1)Yn + Xn
Xn+1=Xn + h
avec h appartient a R*
y0=1
X0=0
exprimer en fonction de n la suite (Yn)

Habitué Nombre de messages : 22 Age : 25 Date d'inscription : 31/05/2009

Y_n=(h+1)^n+sum_{k=0}^{n-1}(h+1)^kX_{n-k}=(h+1)^n+sum_{k=0}^{n-1}(h+1)^k(n-k)h
Il suffit maintenant de continuer ce calcul

wentworth a écrit:: soit (Yn) et (Xn) deux suites tq:
Yn+1=(h+1)Yn + Xn
Xn+1=Xn + h
avec h appartient a R*
y0=1
X0=0
exprimer en fonction de n la suite (Yn)

Premièrement, il est facile de voir que $calcul d'une suite Gif.latex?(\forall n\in\mathsbb{N}) : X_n=n$ .
La première équation devient alors: $calcul d'une suite Gif.latex?(\forall n\in\mathsbb{N}) : Y_{n+1}=(h+1).Y_n+n$ , ce qui donne $calcul d'une suite Gif.latex?(\forall n\in\mathsbb{N}) : Y_{n+1}+n+1=(h+1).Y_n+n$ .
On pose $calcul d'une suite Gif$ , alors $calcul d'une suite Gif.latex?(\forall n\in\mathsbb{N}) : Z_{n+1}=(h+1)$ .
Donc $calcul d'une suite Gif.latex?(\forall n\in\mathsbb{N}) : Z_{n+1}+\frac{1}{h}=(h+1)$ .
La suite $calcul d'une suite Gif$ est géométrique, et ainsi $calcul d'une suite Gif$ .
Or, $calcul d'une suite Gif$ . D'où: $calcul d'une suite Gif$ .
Donc $calcul d'une suite Gif$ .
Et finalement: $calcul d'une suite Gif$ .
Sauf erreurs!

Féru Nombre de messages : 58 Age : 31 Date d'inscription : 19/10/2011

x_n=n.h , car x_n est arithmétique
y_(n+1)=(h+1).y_n+n.h

si h=-1, alors y_n=-n+1,pour tt n
sinon: y_(n+1)=y_n + (n.h)/(h+1)

par somme télélscopique : yn =(n-1).n.h/(h+1) +1 , h#-1 , pour tt n . DONE

ZYGOTO a écrit:: x_n=n.h , car x_n est arithmétique
y_(n+1)=(h+1).y_n+n.h
si h=-1, alors y_n=-n+1,pour tt n
sinon: y_(n+1)=y_n + (n.h)/(h+1)
par somme télélscopique : yn =(n-1).n.h/(h+1) +1 , h#-1 , pour tt n . DONE

Le télescopage ne donne pas ce que tu as écrit, mais $calcul d'une suite Gif.latex?(\forall n\in\mathsbb{N}) : Y_n=Y_0+\sum_{k=0}^{n-1}k$ .
A part ça, tu as commis une erreur lorsque tu as divisé par $calcul d'une suite Gif$ la deuxième équation.
Pour que tu sois totalement convaincu, essaie de calculer $calcul d'une suite Gif$ avec la relation de l'énoncé et avec la formule que tu as trouvée: tu ne trouves pas le même résultat!

Féru Nombre de messages : 58 Age : 31 Date d'inscription : 19/10/2011

nmo a écrit:

ZYGOTO a écrit:: x_n=n.h , car x_n est arithmétique
y_(n+1)=(h+1).y_n+n.h
si h=-1, alors y_n=-n+1,pour tt n
sinon: y_(n+1)=y_n + (n.h)/(h+1)
par somme télélscopique : yn =(n-1).n.h/(h+1) +1 , h#-1 , pour tt n . DONE

Le télescopage ne donne pas ce que tu as écrit, mais $calcul d'une suite Gif.latex?(\forall n\in\mathsbb{N}) : Y_n=Y_0+\sum_{k=0}^{n-1}k$ .
A part ça, lorsque tu as commis une erreur lorsque tu as divisé par $calcul d'une suite Gif$ la deuxième équation.
Pour que tu sois totalement convaincu, essaie de calculer $calcul d'une suite Gif$ avec la relation de l'énoncé et avec la formule que tu as trouvée: tu ne trouves pas le même résultat!

la somme téléscopique est la seule faute que j'ai fais, si tu calcules la somme encore une fois tu vas trouver y_n=n(n-1).h/2(h+1) +1.

et lorsque j'ai divisé j'ai étudie deux cas : cas ou h=-1 et le cas ou h#-1.

Enfin Y_1=1.(1-1).h/2(h+1) + 1 =1

sinon s'il y a d'autres erreurs, veuillez me les signalés ,mais si tu veux me convaincre que ta démo est la seule solution idéale pour cet exercice,...alors ça est contre l'esprit mathématique.

Féru Nombre de messages : 58 Age : 31 Date d'inscription : 19/10/2011

@nmo : J'ai regardé ta démo et j'ai trouvé que tu as étudié le cas h=0, par contre h est donné dans l'énoncé non nul !! ---->[#sanscommentaire]

ZYGOTO a écrit:: @nmo : J'ai regardé ta démo et j'ai trouvé que tu as étudié le cas h=0, par contre h est donné dans l'énoncé non nul !! ---->[#sanscommentaire]

Je n'ai pas fait attention. Tu as raison! Je vais éditer ma proposition.

ZYGOTO a écrit:: la somme téléscopique est la seule faute que j'ai fais, si tu calcules la somme encore une fois tu vas trouver y_n=n(n-1).h/2(h+1) +1.
et lorsque j'ai divisé j'ai étudie deux cas : cas ou h=-1 et le cas ou h#-1.
Enfin Y_1=1.(1-1).h/2(h+1) + 1 =1
sinon s'il y a d'autres erreurs, veuillez me les signalés ,

Je t'ai signalé une autre faute dans mon message précédant dans ce passage:

ZYGOTO a écrit:: si h=-1, alors y_n=-n+1,pour tt n
sinon: y_(n+1)=y_n + (n.h)/(h+1)

Là, tu as divisé par $calcul d'une suite Gif$ le côté droit de l'égalité seulement, ce qui n'est pas correct.
Normalement, cela doit donner: $calcul d'une suite Gif.latex?(\forall n\in\mathsbb{N}) : \frac{Y_{n+1}}{h+1}=Y_n+n$ et non plus ce que tu as écrit.

ZYGOTO a écrit:: mais si tu veux me convaincre que ta démo est la seule solution idéale pour cet exercice,...alors ça est contre l'esprit mathématique.

Ce n'était pas cela mon but...
De plus, tant qu'on n'obtient pas la même solution c'est que l'un de nous a commis une erreur.

x_n=n.h
y_(n+1)=(h+1).y_n+n.h
si h#-1, y_(n+1)/(h+1)^{n+1}=y_n/(h+1)^{n} + (n.h)/(h+1)^{n+1}
Par téléscopage , pour n>1
y_(n)/(h+1)^{n}=y_0 + somme_{k=0}^{n-1} (k.h)/(h+1)^{k+1}
y_(n)=(h+1)^{n} +h. (h+1)^{n-1}. somme_{k=0}^{n-1} k.x^{k} où x=1/(h+1)

somme_{k=0}^{n-1} k.x^{k}=somme_{k=0}^{n-1} (k+1).x^{k}-somme_{k=0}^{n-1}x^{k}