Bonjour ;
On a 1/((4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)) = (1/6) ((1/(4k+1)-(3/(4k+2)+(3/4k+3)-(1/(4k+4)) : k in N.
En nommant psi la fonction digamma, gam la constante d’Euler, H la somme de la série harmonique et inf le symbole de l’infini, on a pour tout z in Q*+ : Sum(k=1,inf, 1/(4k+4z)) = -(1/4) (psi(k) + gam + (1/z) – H), et donc : Sum(k=0,inf, 3/(4k+3))= -(3/4) (psi(3/4) -3/4 gam + 3/4 H : pour z = 3/4 ,
Sum(k=0,inf, 1/(4k+1))= -(1/4) (psi(1/4) -1/4 gam + 1/4 H : pour z = 1/4 ,
Sum(k=0,inf, 1/(4k+4))= 1/4 H : pour z = 1 ,
Sum(k=0,inf, 3/(4k+2))= -(3/4) (psi(1/2) -3/4 gam + 3/4 H : pour z = 1/2 .
Donc,
Sum(k=0,inf, 1/((4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4))) = (1/6)(-1/4 psi(1/4) + 3/4 psi(1/2) - 3/4 psi(3/4) - 1/4 gam )
= (1/6)(- psi(1/4) + 3/4 psi(1/2) - 1/4 gam – 3/4 pi() ) : psi(3/4) = pi() + psi(1/4)
= (1/6) (-1/4 gam +/4 (-2 ln(2) – gam) – (- pi()/2 – 3 ln(2) – gam) – 3/4 pi()) : psi(1/2) = 2 ln(2) + gam , psi(1/4) = -pi()/2 – 3 ln(2) – gam
Donc Sum(k=0,inf, 1/((4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4))) = (1/6) (-pi()/4 + 3/2 ln(2)) = (1/24) (6 ln(2) – pi()).
Bon retour aux classes pour tous.
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